Binomialkoeffizient

Worum geht es hier eigentlich? Stell dir vor, du hast eine bestimmte Anzahl von Objekten – zum Beispiel eine Handvoll verschiedener Gummibärchen – und möchtest wissen, auf wie viele Arten du eine kleinere Anzahl davon auswählen kannst. Genau das beantwortet uns der Binomialkoeffizient. Kurz und einfach erklärt: Der Binomialkoeffizient gibt an, wie viele mögliche Kombinationen (also "Gruppen") es gibt, wenn man k Objekte aus einer Menge von n Objekten auswählt, ohne die Reihenfolge der Auswahl zu beachten. Man spricht hier vom Modell "Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge". Der Binomialkoeffizient "n über k" ist definiert als: binom{n}{k} = frac{n!}{k! cdot (n-k)!} Dabei gilt: n ist die Gesamtzahl der Objekte, aus denen wir auswählen können. k ist die Anzahl der Objekte, die wir auswählen wollen. Das Ausrufezeichen ! steht für die Fakultät , also das Produkt aller ganzen Zahlen von 1 bis zur jeweiligen Zahl. Zum Beispiel ist 5! = 5 cdot 4 cdot 3 cdot 2 cdot 1 = 120 . Aufgabe: Aus einer Obstschale mit 4 verschiedenen Früchten (Apfel, Banane, Orange, Kiwi) sollen 2 Früchte für einen Snack ausgewählt werden. Wie viele verschiedene Frucht-Paare kann man bilden? Vorgehen: Wir haben insgesamt n=4 Früchte und wollen k=2 davon auswählen. Die Reihenfolge, in der wir die Früchte nehmen, ist egal (Ob wir Apfel-Banane oder Banane-Apfel nehmen, ist derselbe Snack). Also benutzen wir den Binomialkoeffizienten: binom{4}{2} = frac{4!}{2! cdot (4-2)!} = frac{4!}{2! cdot 2!