Potenzregel: Ableitung

Mit der Potenzregel lassen sich Funktionen der Form f(x) = x^n (sogenannte Potenzfunktionen) extrem schnell ableiten. Die Ableitung f'(x) gibt dir die Steigung des Funktionsgraphen an einer beliebigen Stelle x an. Die Potenzregel ist damit das grundlegende Werkzeug, um diese Steigung für Funktionen wie x^2 , x^5 , aber auch frac{1}{x} oder sqrt{x} systematisch zu berechnen. Betrachten wir das Beispiel f(x) = x^2 . Die Ableitung an der Stelle x=1 entspricht der Steigung der Tangente im Punkt P(1|1) . Die Potenzregel liefert uns diese Steigung ( f'(1) = 2 ) ohne komplizierte Grenzwertberechnungen. Die Potenzregel gilt für Funktionen der Form: f(x) = x^n Dabei ist der Exponent n eine beliebige reelle Zahl (z. B. eine positive oder negative ganze Zahl oder ein Bruch). Die goldene Merkregel lautet: „Hochzahl vorziehen, Hochzahl um eins verringern.“ Formel für die Ableitung: f'(x) = n cdot x^{n-1} Schritt-für-Schritt-Vorgehen: 1. Exponent vorziehen: Schreibe den aktuellen Exponenten n als Faktor vor das x . 2. Exponent verringern: Subtrahiere vom alten Exponenten 1 , um die neue Hochzahl n-1 zu erhalten. Ein einfaches Beispiel mit einer positiven, ganzen Zahl als Exponent. Gegeben: f(x) = x^4 Hier ist der Exponent n = 4 . 1. Exponent vorziehen: 4 cdot x^{ dots} 2. Exponent um 1 verringern: 4 - 1 = 3 Lösung: f'(x) = 4x^3 Die Regel gilt genauso für negative Exponenten, wie sie häufig bei Brüchen (gebrochenrationalen Funktionen) vorkommen. Gegeben: f(x) = x^{-3} Hier ist der Exponent