Gerade im Raum

Stell dir vor, du stehst an einem festen Punkt im Raum und fliegst von dort aus schnurgerade in eine bestimmte Richtung. Genau das beschreibt eine Gerade im Raum . Unser Ziel ist es, eine präzise "Wegbeschreibung" aufzustellen, mit der wir jeden einzelnen Punkt auf dieser unendlich langen Linie erreichen können. Dazu benötigen wir nur zwei Angaben: einen Startpunkt und die Richtung. Um eine Gerade g im dreidimensionalen Raum mathematisch darzustellen, nutzt man die Parameterform : g: vec{x} = vec{p} + t cdot vec{u} quad text{mit } t in mathbb{R} Die einzelnen Bausteine der Gleichung haben feste Bedeutungen: vec{x} = begin{pmatrix} x 1 x 2 x 3 end{pmatrix} ist der Ortsvektor zu einem beliebigen Punkt X auf der Geraden. vec{p} ist der Stützvektor . Er zeigt vom Koordinatenursprung (0|0|0) zu einem bekannten Punkt auf der Geraden (unserem Startpunkt, oft als A bezeichnet). vec{u} ist der Richtungsvektor . Er zeigt die Richtung an, in die die Gerade verläuft. t ist der Parameter (eine beliebige reelle Zahl). Er funktioniert wie ein "Regler": Setzt du für t verschiedene Zahlen ein, wandert der Vektor vec{x} auf der Geraden entlang. Für t = 0 stehst du genau auf dem Stützpunkt, für t = 1 genau eine Richtungsvektorlänge weiter. Das Prinzip lautet also: Gehe erst vom Ursprung zum Stützpunkt auf der Geraden ( vec{p} ) und von dort aus ein beliebig Vielfaches des Richtungsvektors ( t cdot vec{u} ) weiter. Herleitung durch zwei Punkte Wenn zwei Punkte A und B gegeben sind, die auf der G