Geraden im Raum

Aufgaben mit Lösungsweg

1. Spurpunkt x₁x₃-Ebene: Berechne den Spurpunkt mit der $x_1x_3$-Ebene der Geraden $g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}$.
2. Lage zweier Geraden: Bestimme die gegenseitige Lage der beiden Geraden $g$ und $h$. Bestimme gegebenenfalls den Schnittpunkt und Schnittwinkel der Geraden. $g : \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1
3. Gerade durch zwei Punkte: Bestimme die Gerade, die durch die Punkte $A(3|2|1)$ und $B(-1|4|3)$ geht.
4. Punkt auf Gerade prüfen: Liegt der Punkt $C(-5 \mid -8 \mid -4)$ auf der Geraden $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}$?
5. Punkt auf Geradengleichung prüfen: Andreas und Sofian beschmeißen sich mit Schneebällen. Sofian steht an Position $G(8|2|1.7)$ und Andreas duckt sich auf der Position $A(-3|7|0.8)$. Nun wirft Sofian einen Schneeball und zielt auf den Kopf in Richtung $\ve
6. Geraden auf Orthogonalität prüfen: Prüfe, ob die Geraden orthogonal zueinander sind. $$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 6 \\ 9 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$$ $$h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}
7. Orthogonalität von Geraden prüfen: Prüfe, ob die Geraden orthogonal zueinander sind $$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 6 \\ 9 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$$ $$h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} +
8. Geraden orthogonal?: Prüfe, ob die Geraden orthogonal zueinander sind $$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 6 \\ 9 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$$ $$h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} +

Wichtige Begriffe

Richtungsvektor

Dieser Vektor wird hauptsächlich bei Geraden im Raum eingesetzt. Dabei fungiert er, wie sein Name auch schon erahnen lässt, als Richtungsgeber der Geraden. Beispiel Gegeben sind nun zwei Punkte A ( −

Stützvektor

Ein Stützvektor zeigt auf den Stützpunkt, der als Ausgangspunkt einer Geraden oder Ebene verwendet wird. Beispiel (Gerade) Wir sollen eine Gerade im Raum erstellen, die durch die Punkte A ( 1 | 2 | 3

Gerade im Raum

Stell dir vor, du stehst an einem festen Punkt im Raum und fliegst von dort aus schnurgerade in eine bestimmte Richtung. Genau das beschreibt eine **Gerade im Raum**. Unser Ziel ist es, eine präzise "

Lage zweier Geraden

Wie liegen zwei Geraden im dreidimensionalen Raum zueinander? Stell dir zwei unendlich lange Bleistifte vor, die du frei im Raum hältst. Sie können sich schneiden, parallel nebeneinander verlaufen, di

Parametergleichung Gerade

Eine Parametergleichung einer Geraden ist eine Möglichkeit eine Gerade durch Vektoren festzulegen. Eine Gerade wird durch zwei Vektoren festgelegt, einem Stützvektor p und einem Richtungsvektor u. Die

Parametrisierter Punkt

Eine Gerade besteht aus unendlichen vielen Punkten, bzw. aus einem Punkt, der „wandert“. Ist eine Gerade g : x → = p → + t ⋅ u → MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuL

Punktprobe (Gerade im Raum)

Liegt ein bestimmter Punkt eigentlich genau auf einer Geraden im Raum oder schwebt er irgendwo daneben? Genau diese Frage beantwortet die **Punktprobe**. Stell dir eine schnurgerade Laser-Linie im Rau

Schnittpunkt zweier Geraden

Um den Schnittpunkt zu berechnen setzen wir die beiden Geraden einfach gleich: Beispiel: Hier erstmal zwei Geraden g : x → = ( 1 0 − 3 ) + t ⋅ ( − 2 1 4 ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeB

Skalarprodukt

Das **Skalarprodukt** (auch inneres Produkt genannt) verknüpft zwei Vektoren miteinander. Worum geht's dabei? Das Besondere ist, dass das Ergebnis kein neuer Vektor ist, sondern eine einfache Zahl (ei

Spurpunkte einer Geraden

Wir wollen herausfinden, wo eine Gerade im dreidimensionalen Raum die sogenannten **Koordinatenebenen** durchstößt. Stell dir vor, der Raum ist wie ein Zimmer. Die Wände und der Boden sind die Koordin

Erklärvideos

• Gerade aufstellen (im Raum)
• Gegenseitige Lage von Geraden
• Punktprobe Gerade, Vektorgeometrie | Mathe by Daniel Jung
• Spurpunkte von Geraden mit den Koordinatenebenen, Vektorgeometrie | Mathe by Daniel Jung