Satz vom Nullprodukt

Der Satz vom Nullprodukt ist ein extrem hilfreiches Werkzeug, um komplizierte Gleichungen schnell und oft sogar im Kopf zu lösen. Besonders häufig brauchst du ihn, um die Nullstellen von Funktionen zu bestimmen – also die Stellen, an denen der Funktionsgraph die x -Achse schneidet. Das dahinterstehende Prinzip ist denkbar einfach: Wenn du zwei Zahlen miteinander multiplizierst und das Ergebnis 0 ist, muss mindestens eine der beiden Zahlen 0 gewesen sein. 5 cdot 0 = 0 quad text{oder} quad 0 cdot (-7) = 0 quad text{oder} quad 0 cdot 0 = 0 Es gibt keinen anderen Weg, wie ein Produkt den Wert Null annehmen kann. Voraussetzungen für die Anwendung: 1. Produkt: Auf einer Seite der Gleichung steht ein Produkt (eine Mal-Rechnung). 2. Null: Auf der anderen Seite der Gleichung steht genau die Zahl 0 . Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Mathematisch ausgedrückt: a cdot b = 0 iff a = 0 quad text{oder} quad b = 0 Dabei können a und b einzelne Zahlen, Variablen (wie x ) oder ganze Klammerterme (wie x-4 ) sein. Beispiel 1: Direktes Ablesen (x - 2) cdot (x + 5) = 0 Die Gleichung ist perfekt vorbereitet: Links steht ein Produkt aus zwei Klammerfaktoren, rechts steht die Null. Wir setzen nun jeden Faktor einzeln gleich 0 : 1. Faktor: x - 2 = 0 quad | +2 x 1 = 2 2. Faktor: x + 5 = 0 quad | -5 x 2 = -5 Die Lösungen der Gleichung lauten x 1 = 2 und x 2 = -5 . Beispiel 2: Variable als einzelner Faktor x cdot (3x - 1) = 0 Hier lauten die beiden Fakto