Linearfaktoren - mehrfache Nullstellen

Aufgaben mit Lösungsweg

1. Vielfachheit von Nullstellen: Die Funktion $f(x) = (x-2)^2 \cdot (x+1)$ hat Nullstellen. Bestimme die Vielfachheit jeder Nullstelle.
2. Funktionsgleichung aufstellen: Eine Funktion dritten Grades hat eine doppelte Nullstelle bei $x=1$ und eine weitere Nullstelle bei $x=-2$. Der Funktionswert an der Stelle $x=0$ ist $f(0)=4$. Schreibe die Funktionsgleichung in faktorisierter Form.
3. Anzahl der Nullstellen: Überprüfe, ob die Aussage wahr oder falsch ist: Die Funktion $f(x) = x(x^2-4)$ hat genau zwei Nullstellen.
4. Vielfachheit von Nullstellen: Die Funktion $f(x) = (x-2)^3(x+1)$ hat Nullstellen bei $x_1=2$ und $x_2=-1$. Welche Vielfachheit besitzen diese Nullstellen?
5. Nullstellen & Graphenverlauf: Fülle die Lücken mit den passenden Begriffen aus. ```plot range: [-4,4] f(x)=0.5*x*(x-2)^2, color: #2563eb mark: f at x=0, label: A, drop: true mark: f at x=2, label: B, drop: true x_label: x y_label: f(x) ``` Betrachte
6. Eigenschaften von Nullstellen: Welche der folgenden Aussagen über die Funktion $g(x) = (x+3)(x-1)(x-1)$ ist / sind korrekt?

Wichtige Begriffe

Linearfaktor

Stell dir vor, du hast eine quadratische Funktion und möchtest auf einen Blick sehen, wo ihre Nullstellen (die Schnittpunkte mit der x-Achse) liegen. Genau dabei helfen dir **Linearfaktoren**! Ein Lin

Doppelte Nullstelle

Eine **doppelte Nullstelle** (auch Nullstelle mit der Vielfachheit 2 genannt) ist ein besonderer Punkt, an dem der Graph einer Funktion die $x$-Achse nicht schneidet, sondern nur **berührt**. Stell di

Nullstellen einer Funktion

Worum geht's hier eigentlich? Stell dir vor, wie sich der Graph einer Funktion durch das Koordinatensystem schlängelt. Die **Nullstellen** sind genau die Stellen auf der $x$-Achse, an denen der Graph

Satz vom Nullprodukt

Der **Satz vom Nullprodukt** ist ein extrem hilfreiches Werkzeug, um komplizierte Gleichungen schnell und oft sogar im Kopf zu lösen. Besonders häufig brauchst du ihn, um die **Nullstellen** von Funkt

Faktorisieren

Beim **Faktorisieren** (oft auch **Ausklammern** genannt) verwandelst du eine Summe oder eine Differenz in ein Produkt. Du suchst nach gemeinsamen Faktoren in den einzelnen Summanden und ziehst diese

Vielfachheit einer Nullstelle

Wenn du die Nullstellen einer Funktion bestimmst, berechnest du die Stellen, an denen der Graph die $x$-Achse trifft. Die **Vielfachheit einer Nullstelle** verrät dir dabei zwei wichtige Dinge: wie of