Exponentialfunktion

Stell dir vor, ein Social-Media-Video geht viral und die Anzahl der Aufrufe verdoppelt sich jede Stunde. Oder ein heißer Kakao kühlt ab und verliert pro Minute einen festen Prozentsatz seiner Wärme an die Umgebung. Solche Vorgänge, bei denen sich eine Menge in gleichen Zeitabschnitten immer um denselben Faktor vervielfacht oder verringert, beschreiben wir mit exponentiellem Wachstum oder exponentiellem Zerfall. Im Unterschied zu linearen Funktionen, bei denen pro Schritt immer derselbe Wert addiert oder subtrahiert wird ( +2, +2, +2, dots ), wird bei Exponentialfunktionen immer mit demselben Wert multipliziert ( cdot 2, cdot 2, cdot 2, dots ). Das führt schon nach kurzer Zeit zu einer enormen Veränderung. Die allgemeine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion lautet: f(x) = k cdot a^x Die Variablen haben folgende Bedeutung: x : Die Variable im Exponenten. Sie steht meist für die Zeit oder die Anzahl der Schritte (z. B. Stunden, Jahre, Generationen). a : Der Wachstums- oder Zerfallsfaktor ( a 0 ). Er gibt an, mit welchem Wert die Menge in jedem Schritt multipliziert wird. k : Der Anfangswert zum Startzeitpunkt x=0 . Es gilt f(0) = k cdot a^0 = k cdot 1 = k . f(x) (oder y ): Der Funktionswert (die Gesamtmenge) nach x Schritten. Wichtige Eigenschaften (für k 0 ): Ist a 1 , liegt exponentielles Wachstum vor. Der Graph verläuft von links nach rechts immer steiler nach oben. Ist 0 0 ). Der Graph liegt komplett oberhalb der x -Achse. Der Schnittpunkt mit der y -Achse liegt imme