Erwartungswert

Worum geht es hier? Stell dir ein Glücksspiel vor, zum Beispiel ein Glücksrad oder eine Lotterie. Bei manchen Ergebnissen gewinnst du Geld, bei anderen verlierst du deinen Einsatz. Der Erwartungswert ist eine zentrale Kennzahl aus der Stochastik. Er sagt dir voraus, welchen Gewinn oder Verlust du im Durchschnitt pro Spiel erwarten kannst, wenn du das Spiel sehr oft spielst. Kurz gesagt: Der Erwartungswert hilft uns mathematisch zu beurteilen, ob ein Spiel fair ist, ob man langfristig gewinnt oder ob man besser die Finger davon lässt. Die Berechnung ist direkt: Wir multiplizieren jeden möglichen Wert (z. B. Gewinn oder Verlust) mit seiner zugehörigen Wahrscheinlichkeit. Am Ende addieren wir alle diese Produkte zusammen. Die mathematische Formel lautet: E(X) = x 1 cdot P(X=x 1) + x 2 cdot P(X=x 2) + dots + x n cdot P(X=x n) Oder kompakter in der Summenschreibweise: E(X) = sum {i=1}^{n} x i cdot P(X=x i) Dabei gilt: E(X) (oft auch mit dem griechischen Buchstaben mu abgekürzt) ist der Erwartungswert . Das X steht für die Zufallsvariable (z. B. den Gewinn in €). x 1, x 2, dots, x n sind die konkreten Werte, die die Zufallsvariable annehmen kann (z. B. +5 text{ €} oder -2 text{ €} ). P(X=x 1), P(X=x 2), dots sind die Wahrscheinlichkeiten, mit denen diese Werte auftreten. Beispiel 1: Ein fairer Münzwurf Du spielst mit einer Freundin ein einfaches Spiel: Ihr werft eine normale Münze. Bei „Kopf“ bekommst du 1 text{ €} , bei „Zahl“ musst du ihr 1 text{ €} geben. 1. Werte der Zufallsvar