Berührpunkt

Ein Berührpunkt ist ein gemeinsamer Punkt zweier Funktionsgraphen, an dem sie sich besonders sanft treffen. Im Gegensatz zu einem normalen Schnittpunkt, bei dem die Graphen einander durchkreuzen (wie zwei Straßen auf einer Kreuzung), "schmiegen" sich die Graphen im Berührpunkt aneinander an und laufen danach wieder auseinander. Das Besondere daran ist: An diesem Punkt haben beide Graphen nicht nur denselben y-Wert, sondern auch die exakt gleiche Steigung . Sie besitzen dort also eine gemeinsame Tangente. Damit ein Punkt an der Stelle x 0 ein Berührpunkt der Funktionen f(x) und g(x) ist, müssen zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein: 1. Gleicher Funktionswert (Schnittpunkt-Bedingung): f(x 0) = g(x 0) Die Graphen müssen sich an der Stelle x 0 überhaupt erst treffen. 2. Gleiche Steigung (Berühr-Bedingung): f'(x 0) = g'(x 0) Die Graphen müssen an dieser Stelle dieselbe Steigung (Ableitung) haben. Sie verlaufen dort also für einen winzigen Moment parallel. Beispiel 1: Haben die Funktionen f(x) = x^2 und g(x) = 0 einen Berührpunkt? Die Funktion g(x)=0 beschreibt die x-Achse. Wir untersuchen, ob die Normalparabel f(x)=x^2 die x-Achse berührt. Schritt 1: Stellen mit gleichem Funktionswert finden Wir setzen die Funktionsterme gleich: f(x) = g(x) implies x^2 = 0 implies x 0 = 0 Ein möglicher Berührpunkt kann nur bei x 0 = 0 liegen. Schritt 2: Steigung an dieser Stelle prüfen Wir bilden die Ableitungen: f'(x) = 2x quad text{und} quad g'(x) = 0 Nun setzen wir x 0 = 0 ein: f'(0) = 2 c