Tangenten

Aufgaben mit Lösungsweg

1. Tangentengleichung aufstellen: Die Funktion $f(x) = x^2$ hat an der Stelle $x_0 = 2$ die Tangentensteigung $m = 4$. Was ist die korrekte Gleichung der Tangente in Punkt $P(2|4)$?
2. Begriffe zu Geraden und Funktionen: Fülle die Lücken mit den passenden Begriffen aus. ```plot range: [-3, 3] f(x) = x^2, color: #2563eb tangent: f at x=1, label: t, color: #dc2626 secant: f from x=-2 to x=2, label: s, color: #16a34a point: (0,-1), label: P
3. Aussage über Tangentensteigung: Die Steigung einer **Tangente** an einen Funktionsgraphen gibt die momentane Änderungsrate der Funktion an diesem Berührpunkt an.
4. Eigenschaften der Tangente: Welche der folgenden Aussagen ist/sind korrekt, wenn eine Funktion $f(x)$ eine Tangente in einem Punkt $P(x_0|f(x_0))$ hat?
5. Steigung der Tangente berechnen: Die Funktion $f(x) = x^2 - 4x + 5$ hat eine Tangente im Punkt $P(3|f(3))$. Berechne die Steigung dieser Tangente.
6. Aussagen zum Berührpunkt: Welche der folgenden Aussagen über den Berührpunkt einer Tangente an eine Funktion ist korrekt?
7. Begriffe zu Geraden und Funktionen: Fülle die Lücken mit den passenden Begriffen aus.
8. Tangentengleichung aufstellen: Eine Funktion $g(x) = -x^3 + 3x^2 + 1$ hat im Punkt $x_0 = 1$ einen Berührpunkt mit ihrer Tangente. Bestimme die Gleichung dieser Tangente.

Wichtige Begriffe

Tangente

Stell dir vor, du fährst mit dem Fahrrad einen Hügel hinauf. Die **Tangente** ist wie eine gerade Linie, die den Hügel genau an der Stelle berührt, an der sich dein Reifen gerade befindet. Sie hat in

Berührpunkt

Ein **Berührpunkt** ist ein gemeinsamer Punkt zweier Funktionsgraphen, an dem sie sich besonders sanft treffen. Im Gegensatz zu einem normalen Schnittpunkt, bei dem die Graphen einander durchkreuzen (

Passante

Eine Passante zu einem Kreis k ist eine Gerade, die den Kreis nicht schneidet.

Tangentengleichung

Eine Tangente ist eine gerade Linie, die eine Kurve (wie eine Parabel oder einen Kreis) in genau einem Punkt **berührt**, ohne sie dort zu kreuzen. Die **Tangentengleichung** beschreibt diese Gerade m

Steigung an einem Punkt

Im Vergleich zur mittleren Änderungsrate gibt die momentane Änderungsrate die Steigung an einem, statt an zwei Punkten, an. Um diese Steigung zu bestimmen, gibt es die Möglichkeit über den Differenzen

Sekante

Eine Sekante ist eine Gerade, welche den Funktionsgraph einer Funktion f in 2 Punkten schneidet. Sie hat die allgemeine Funktionsgleichung einer Geraden: f ( x ) = m s ⋅ x + c MathType@MTEF@5@5@+= fea