Steigung an einem Punkt

Im Vergleich zur mittleren Änderungsrate gibt die momentane Änderungsrate die Steigung an einem, statt an zwei Punkten, an. Um diese Steigung zu bestimmen, gibt es die Möglichkeit über den Differenzenquotienten zu berechnen (was aber kaum Anwendung findet, weil kompliziert) oder eben über die Ableitungsfunktion: Kurze Wiederholung: Wir wissen, wenn wir einen x -Wert in eine Funktion einsetzen kommt der passende y -Wert (Funktionswert) dabei raus: f ( x ) = y Was passiert wenn man nun den gleichen x -Wert in die Ableitungsfunktion einsetzt? Du kannst es dir schon denken, genau diese Steigung, an genau der Stelle bzw. an dem Punkt f ′ ( x ) = m Beispiel 1 Wir haben folgende Funktion f ( x ) = x 2 gegeben und möchten die Steigung an dem Punkt P ( 3 | 9 ) bestimmen. Schritt 1: Ableitung bestimmen f ( x ) = x 2 f ′ ( x ) = 2 x Schritt 2: den x -Wert des Punktes in die Ableitung einsetzen f ′ ( 3 ) = 2 ⋅ 3 = 6 Antwort: Damit hat der Punkt P die Steigung 6 (was auch gleichzeitig die momentane Änderungsrate ist) Beispiel 2 Wir haben die Funktion f ( x ) = x 2 gegeben und möchten einen Punkt finden, der die momentane Änderungsrate 10 hat. Schritt 1: Der Gedankengang Da wir wissen, dass die momentane Änderungsrate auch gleichzeitig die Steigung ist, wissen wir, dass m = 10 sein muss und somit: f ′ ( x ) = 10 Schritt 2: Ableitung berechnen f ( x ) = x 2 f ′ ( x ) = 2 x Schritt 3: Ableitung gleich der Steigung setzen f ′ ( x ) = 10 2 x = 10 | : 2 x = 5 Antwort: Damit hat der Punkt P ( 5