Die Ableitung in Sachsituationen - lineare Näherung

Aufgaben mit Lösungsweg

1. Momentane Änderungsrate: Die Funktion $f(x) = x^2$ beschreibt die Höhe eines Balles über die Zeit $x$. Berechne die momentane Änderungsrate der Höhe zum Zeitpunkt $x=2$.
2. Lineare Näherung: Fülle die Lücken mit den passenden Begriffen aus.
3. Steigung der Kostenfunktion: Die Funktion $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$ beschreibt die Kosten in Euro für die Produktion von $x$ Einheiten. Ist die folgende Aussage wahr oder falsch? Die Steigung der Kostenfunktion im Punkt $x=1$ beträgt $f'(1)=4$.
4. Momentane Änderungsrate Bakterien: Eine Bakterienkultur wächst gemäß der Funktion $N(t) = 100 cdot e^{0.2t}$, wobei $N(t)$ die Anzahl der Bakterien nach $t$ Stunden ist. Der Momentan Änderungsrate der Bakterienkultur zum Zeitpunkt $t=5$ Stunden beträgt et
5. Lineare Näherung Ballonhöhe: Die Höhe eines Ballons $h(t)$ in Metern nach $t$ Minuten wird durch die Funktion $h(t) = -t^2 + 10t + 5$ beschrieben. Bestimmen Sie den Näherungswert für die Höhe des Ballons zum Zeitpunkt $t=5,1$ Minuten mithilfe der li
6. Lineare Näherung: Fülle die Lücken mit den passenden Begriffen und Zahlen aus.
7. Steigung der Kostenfunktion: Die Kosten $K(x)$ für die Produktion von $x$ Einheiten eines Produkts werden durch die Funktion $K(x) = 0.5x^2 + 10x + 50$ beschrieben. Welche der folgenden Aussagen zur Steigung der Kostenfunktion an der Stelle $x=10$ i

Wichtige Begriffe

Näherungswert

Manchmal brauchst du im Alltag keine ganz genaue Zahl, sondern es reicht eine Zahl, die „fast“ stimmt. Ein solcher ungenauer, aber sehr praktischer Wert heißt **Näherungswert**. Du benutzt Näherungswe

Lineare Näherung

Stell dir vor, du radelst auf einer kurvigen Straße. Wenn du für einen ganz kurzen Augenblick die Augen schließt, fährst du ein kurzes Stück fast perfekt geradeaus – genau in die Richtung, in die dein

Tangente

Stell dir vor, du fährst mit dem Fahrrad einen Hügel hinauf. Die **Tangente** ist wie eine gerade Linie, die den Hügel genau an der Stelle berührt, an der sich dein Reifen gerade befindet. Sie hat in

Momentane Änderungsrate

Stell dir vor, du fährst mit dem Fahrrad einen Hügel hinauf. Wenn du wissen willst, wie steil der Berg **im Durchschnitt** auf der ganzen Strecke war, berechnest du die **mittlere Änderungsrate** (wie

Steigung an einem Punkt

Im Vergleich zur mittleren Änderungsrate gibt die momentane Änderungsrate die Steigung an einem, statt an zwei Punkten, an. Um diese Steigung zu bestimmen, gibt es die Möglichkeit über den Differenzen

Tangentengleichung

Eine Tangente ist eine gerade Linie, die eine Kurve (wie eine Parabel oder einen Kreis) in genau einem Punkt **berührt**, ohne sie dort zu kreuzen. Die **Tangentengleichung** beschreibt diese Gerade m