Produktregel

Stell dir vor, du möchtest eine Funktion ableiten, die aus zwei miteinander multiplizierten Teilen besteht, wie zum Beispiel f(x) = x^2 cdot sin(x) . Wie geht das? Ein häufiger Denkfehler ist es, einfach jeden Teil für sich abzuleiten und die Ergebnisse zu multiplizieren. Das ist jedoch falsch! Für solche "Produktfunktionen" gibt es ein spezielles Werkzeug in der Differenzialrechnung: die Produktregel . Sie zeigt dir Schritt für Schritt, wie du die Ableitung richtig bildest. Die Produktregel kommt immer dann zum Einsatz, wenn eine Funktion das Produkt zweier Teilfunktionen g(x) und h(x) ist: f(x) = g(x) cdot h(x) Die Ableitungsregel lautet: f'(x) = g'(x) cdot h(x) + g(x) cdot h'(x) Eine einfache Eselsbrücke ist die ANNA-Regel : A bleiten (den ersten Teil) rightarrow g'(x) N icht ableiten (den zweiten Teil) rightarrow h(x) N icht ableiten (den ersten Teil) rightarrow g(x) A bleiten (den zweiten Teil) rightarrow h'(x) Als Merkregel im Kopf: „Ersten Teil ableiten mal zweiten Teil stehenlassen plus ersten Teil stehenlassen mal zweiten Teil ableiten.“ Wir starten mit einem einfachen Beispiel, bei dem wir das Ergebnis leicht überprüfen können. Gegeben ist die Funktion: f(x) = x^3 cdot (2x + 1) 1. Teilfunktionen bestimmen: Wir zerlegen die Funktion in die Faktoren g(x) und h(x) : g(x) = x^3 h(x) = 2x + 1 2. Einzelne Ableitungen berechnen: g'(x) = 3x^2 h'(x) = 2 3. In die Produktregel einsetzen: Wir fügen die Teile nach dem Muster f'(x) = g'(x) cdot h(x) + g(x) cdot h'(x) zusammen: f