Monotonie

Kurz und einfach erklärt: Die Monotonie beschreibt, in welchen Bereichen (Intervallen) der Graph einer Funktion nach oben klettert oder nach unten fällt. Stell dir vor, du gehst den Graphen von links nach rechts ab: Gehst du bergauf, ist die Funktion monoton steigend (wachsend). Gehst du bergab, ist sie monoton fallend . Mathematisch ausgedrückt vergleichen wir die Funktionswerte f(x) , wenn wir die x -Werte schrittweise vergrößern. Hier siehst du einen typischen Graphen mit seinen unterschiedlichen Monotoniebereichen: Um das Monotonieverhalten einer differenzierbaren Funktion exakt zu bestimmen, nutzen wir die erste Ableitung f'(x) . Da f'(x) die Tangentensteigung an jeder Stelle angibt, gilt: f'(x) 0 Longrightarrow text{streng monoton steigend (sms)} f'(x) Rechnerisches Beispiel Untersuche das Monotonieverhalten der Funktion: f(x) = x^2 - 4x + 5 Schritt 1: Ableitung bilden f'(x) = 2x - 4 Schritt 2: Nullstellen der Ableitung finden ( f'(x) = 0 ) begin{align } 2x - 4 &= 0 quad | +4 2x &= 4 quad | :2 x &= 2 end{align } An der Stelle x = 2 ist die Steigung Null (waagerechte Tangente). Hier liegt die Grenze für einen Monotoniewechsel. Schritt 3: Intervalle aufstellen Die Stelle x = 2 teilt die reellen Zahlen in zwei Bereiche: I 1 = (- infty; 2) I 2 = (2; infty) Schritt 4: Testwerte einsetzen Wir wählen einen beliebigen Testwert aus jedem Intervall und setzen ihn in f'(x) ein: Für I 1 wählen wir x = 0 : f'(0) = 2 cdot 0 - 4 = -4 0 quad Longrightarrow quad text{streng monoton stei