Krümmung

Stell dir vor, du fährst mit dem Auto eine kurvige Straße entlang: Wenn du das Lenkrad nach links einschlägst, fährst du eine Linkskurve. Drehst du es nach rechts, fährst du eine Rechtskurve. Genau das beschreibt die Krümmung bei einer mathematischen Funktion: Sie gibt an, in welche Richtung und wie stark der Graph an einer bestimmten Stelle gebogen ist. Wir unterscheiden zwei Krümmungsarten, wenn wir den Graphen von links nach rechts betrachten: Linkskurve (konvex): Der Graph biegt sich nach oben. Merkregel: Ein lachender Mund ( smile ) ist konvex. Rechtskurve (konkav): Der Graph biegt sich nach unten. Merkregel: Ein trauriger Mund ( frown ) ist konkav. Der Übergangspunkt, an dem sich die Lenkrichtung von einer Links- in eine Rechtskurve (oder umgekehrt) ändert, heißt Wendepunkt . Nutze den interaktiven Plot, um den Zusammenhang zwischen Kurve, Extrempunkten und dem Wendepunkt Schritt für Schritt nachzuvollziehen: Um die Krümmung rechnerisch zu bestimmen, nutzen wir die zweite Ableitung f''(x) der Funktion. Sie misst mathematisch das „Lenkverhalten“ des Graphen: f''(x) 0 : Der Graph beschreibt eine Linkskurve (ist konvex ). Die Steigung der Tangenten nimmt von links nach rechts zu. f''(x) Beispiel 1: Eine durchgehend gekrümmte Parabel Untersuchen wir die Krümmung einer nach oben geöffneten Parabel: f(x) = x^2 - 4x + 3 1. Ableitungen bilden: f'(x) = 2x - 4 f''(x) = 2 2. Krümmung analysieren: Die zweite Ableitung ist mit f''(x) = 2 eine konstante, positive Zahl. Da f''(x) 0 fü