Kettenregel

Die Kettenregel brauchen wir, wenn wir eine Funktion ableiten müssen, die aus zwei oder mehr ineinander verschachtelten Funktionen besteht. Man nennt das auch eine verkettete Funktion . Das Ziel ist es, eine systematische Methode zur Hand zu haben, um solche Funktionen korrekt abzuleiten. Kurz und einfach erklärt: Wir zerlegen die Funktion in eine äußere Funktion und eine innere Funktion und leiten diese nach einer festen Regel ab. Das ist besonders wichtig für komplexere Analysen wie Kurvendiskussionen, wo wir die Ableitung für Extrempunkte oder das Krümmungsverhalten benötigen. Wir schauen uns eine Funktion an, die so aussieht: f(x)=u(v(x)) Dabei ist u(x) die äußere Funktion und v(x) die innere Funktion . Damit sind u(x) und v(x) "verkettet". Mit der Kettenregel sieht die Ableitung von f(x) folgendermaßen aus: f'(x) = u'(v(x)) cdot v'(x) Dabei gilt: u'(v(x)) : Die Ableitung der äußeren Funktion, wobei die innere Funktion v(x) unverändert bleibt. v'(x) : Die Ableitung der inneren Funktion. Merke: "Äußere ableiten, innere lassen und dann die innere hinten dran abgeleitet." Wir starten direkt mit einem Beispiel: f(x) = sin(x^2) Äußere Funktion: u(x) = sin(x) rightarrow u'(x) = cos(x) Innere Funktion: v(x) = x^2 rightarrow v'(x) = 2x Nun setzen wir alles in die Formel ein: begin{align } f'(x) &= u'(v(x)) cdot v'(x) f'(x) &= cos(v(x)) cdot v'(x) f'(x) &= cos(x^2) cdot 2x end{align } Beispiel: f(x) = e^{4x^2} Äußere Funktion: u(x) = e^x rightarrow u'(x) = e^x Innere Funktion: v(x