Doppelte Nullstelle

Eine doppelte Nullstelle (auch Nullstelle mit der Vielfachheit 2 genannt) ist ein besonderer Punkt, an dem der Graph einer Funktion die x -Achse nicht schneidet, sondern nur berührt . Stell dir vor, ein Ball wird auf den Boden geworfen: Er tippt kurz auf den Boden auf (die Nullstelle) und springt sofort wieder nach oben. Genau das passiert am Graphen bei einer doppelten Nullstelle: Der Graph nähert sich der x -Achse, berührt sie an genau einem Punkt und kehrt dann seine Richtung um. Da er hier umkehrt, liegt an jeder doppelten Nullstelle auch immer ein lokaler Extrempunkt (ein Hoch- oder Tiefpunkt) der Funktion. Hier siehst du den Unterschied zwischen einer einfachen Nullstelle (Schnittpunkt) und einer doppelten Nullstelle (Berührpunkt): Um eine doppelte Nullstelle schnell zu erkennen, zerlegst du den Funktionsterm am besten in seine Linearfaktoren . Ein Polynom vom Grad n lässt sich schreiben als: f(x) = a cdot (x - x 1) cdot (x - x 2) cdot dots cdot (x - x n) Dabei ist a der Streckfaktor und x 1, x 2, dots, x n sind die Nullstellen. Eine doppelte Nullstelle liegt vor, wenn zwei dieser Nullstellen denselben Wert haben (z. B. x 1 = x 2 ). In der Formel schreiben wir diese Klammer dann kompakt als Quadrat auf: f(x) = a cdot (x - x 1)^2 cdot dots Der Profi-Blick: Der Exponent 2 an der Klammer (x - x 1)^2 verrät dir sofort, dass an der Stelle x = x 1 ein Berührpunkt vorliegt. Wir untersuchen die Funktion f(x) = x^2 - 2x + 1 auf Nullstellen. Mit der 2. Binomischen Formel können w