Substitution

Manche mathematische Gleichungen sehen auf den ersten Blick kompliziert aus, besonders wenn hohe Potenzen wie x^4 vorkommen. Da es für Gleichungen vierten Grades keine einfache Lösungsformel wie die p-q-Formel gibt, nutzen wir einen cleveren Trick: die Substitution (Ersetzung). Das Wort kommt vom lateinischen substituere und bedeutet „ersetzen“. Die Idee ist einfach: Wir ersetzen einen komplizierten Term durch eine neue, einfachere Variable (meistens z ). Dadurch verwandeln wir eine schwierige Gleichung in eine einfache quadratische Gleichung, die wir problemlos lösen können. Am Ende machen wir die Ersetzung einfach wieder rückgängig. Dieses Verfahren eignet sich besonders für sogenannte biquadratische Gleichungen . Diese enthalten nur die Potenzen x^4 und x^2 sowie ein absolutes Glied (eine Zahl ohne x ). Die allgemeine Form lautet: a cdot x^4 + b cdot x^2 + c = 0 Mit dem Ersetzungsschritt x^2 = z nutzen wir aus, dass x^4 = (x^2)^2 = z^2 ist. Die Gleichung vereinfacht sich dadurch zu: a cdot z^2 + b cdot z + c = 0 Aufgabe: Löse die Gleichung x^4 - 5x^2 + 4 = 0 . 1. Substituieren Wir ersetzen x^2 durch z : x^2 = z implies z^2 - 5z + 4 = 0 2. Hilfsgleichung lösen Mit der p-q-Formel ( p = -5 und q = 4 ) erhalten wir: z {1/2} = - frac{-5}{2} pm sqrt{ left( frac{-5}{2} right)^2 - 4 } z {1/2} = 2,5 pm sqrt{6,25 - 4} z {1/2} = 2,5 pm sqrt{2,25} z {1/2} = 2,5 pm 1,5 Daraus ergeben sich die Lösungen für z : z 1 = 4 z 2 = 1 3. Resubstituieren Nun machen wir die Ersetzung für jeden z -