Quadratische Ergänzung

Mit der quadratischen Ergänzung kannst du einen quadratischen Term (wie x^2 + px ) so umformen, dass du eine binomische Formel rückwärts anwenden kannst. Das hilft dir im Schulalltag vor allem bei zwei wichtigen Dingen: 1. Um den Scheitelpunkt einer Parabel direkt aus der Funktionsgleichung abzulesen. 2. Um quadratische Gleichungen Schritt für Schritt zu lösen. Der Trick dabei ist, dass du eine „schlaue Null“ addierst — du fügst etwas hinzu und ziehst es sofort wieder ab, damit sich der Wert des Terms nicht verändert. Hier siehst du den Graphen der Funktion f(x) = x^2 - 4x + 3 . Durch die quadratische Ergänzung bringen wir die Funktion in die Scheitelpunktform f(x) = (x-2)^2 - 1 . Jetzt können wir den tiefsten Punkt, den Scheitelpunkt S(2|-1) , sofort ablesen und im Koordinatensystem einzeichnen: { "mode": "2d", "functions": [ { "id": "f", "expr": "x^2 - 4 x + 3", "color": " 2563eb", "visible": true } ], "points": [ { "x": 2, "y": -1, "label": "S(2|-1)" } ], "xMin": -2, "xMax": 6, "yMin": -3, "yMax": 7 } Das Prinzip der quadratischen Ergänzung lautet: x^2 + p cdot x = underbrace{x^2 + p cdot x + left( frac{p}{2} right)^2} { text{binomische Formel}} - left( frac{p}{2} right)^2 = left(x + frac{p}{2} right)^2 - left( frac{p}{2} right)^2 p ist die Zahl, die vor dem einfachen x steht. left( frac{p}{2} right)^2 ist das "Ergänzungsglied". Du nimmst die Hälfte von p und nimmst sie hoch zwei. Du addierst und subtrahierst diesen Wert im selben Schritt. Beispiel 1: Einfache Umformung (m