Punktprobe (Gerade im Raum)

Liegt ein bestimmter Punkt eigentlich genau auf einer Geraden im Raum oder schwebt er irgendwo daneben? Genau diese Frage beantwortet die Punktprobe . Stell dir eine schnurgerade Laser-Linie im Raum vor: Mit der Punktprobe findest du mathematisch heraus, ob ein Staubkorn exakt von diesem Laserstrahl getroffen wird (Punkt Q ) oder nicht (Punkt R ). Jede Gerade g im Raum lässt sich durch eine Gleichung in Parameterform darstellen: g: vec{x} = vec{p} + t cdot vec{v} vec{p} ist der Stützvektor (der Ortsvektor eines bekannten Punktes auf der Geraden). vec{v} ist der Richtungsvektor (er gibt vor, in welche Richtung die Gerade verläuft). t ist der Parameter (eine reelle Zahl). Um zu prüfen, ob ein Punkt Q mit dem Ortsvektor vec{q} auf der Geraden liegt, setzen wir vec{q} für den allgemeinen Vektor vec{x} ein: vec{q} = vec{p} + t cdot vec{v} Diese Vektorgleichung liefert uns ein lineares Gleichungssystem mit drei einzelnen Gleichungen – eine für jede Koordinatenrichtung ( x 1 , x 2 und x 3 ): begin{align } I: quad q 1 &= p 1 + t cdot v 1 II: quad q 2 &= p 2 + t cdot v 2 III: quad q 3 &= p 3 + t cdot v 3 end{align } Das Vorgehen: 1. Einsetzen: Setze den Ortsvektor des Punktes für vec{x} in die Geradengleichung ein. 2. Gleichungssystem aufstellen: Schreibe die drei Zeilen als separate Gleichungen auf. 3. Nach t auflösen: Bestimme für jede Gleichung den Wert des Parameters t . 4. Vergleichen: Ergibt sich in allen drei Gleichungen derselbe Wert für t ? rightarrow Der Punkt liegt auf der