Grenzwert einer Funktion

Der Grenzwert einer Funktion (oft auch Limes genannt) beschreibt, wie sich die y-Werte einer Funktion verhalten, wenn du dich mit den x-Werten entweder einer bestimmten Zahl näherst oder immer weiter ins Unendliche ( + infty oder - infty ) gehst. Wir stellen uns dabei die Frage: „Gegen welchen festen Wert steuern die y-Werte, wenn ich mich auf der x-Achse einem bestimmten Punkt unaufhaltsam nähere?“ Der y-Wert muss diesen Grenzwert dabei selbst nie exakt erreichen – es geht nur um den Trend. Für den Grenzwert an einer Stelle x 0 nutzt man folgende mathematische Schreibweise: lim {x to x 0} f(x) = g Gelesen wird das als: „Der Limes von f(x) für x gegen x 0 ist gleich g .“ Alternativ schreibt man auch: text{Für } x to x 0 text{ gilt } f(x) to g lim ist die Abkürzung für Limes (lateinisch für „Grenze“). x to x 0 zeigt an, wohin die Reise auf der x-Achse geht (entweder gegen eine konkrete Zahl oder gegen pm infty ). g ist der Grenzwert, dem sich die y-Werte beliebig nah annähern. Beispiel 1: Verhalten im Unendlichen bei einer Parabel Wir untersuchen die Normalparabel f(x) = x^2 . Was passiert mit dem Graphen, wenn wir x-Werte wählen, die immer größer werden? f(10) = 10^2 = 100 f(100) = 100^2 = 10.000 f(1.000) = 1.000^2 = 1.000.000 Je weiter wir uns auf der x-Achse nach rechts bewegen ( x to infty ), desto steiler schießen die y-Werte nach links oben ins Unendliche. Das Gleiche gilt, wenn wir weit nach links gehen ( x to - infty ). lim {x to infty} x^2 = infty quad text{und} quad