Ganzrationale Funktionen und ihr Verhalten für x -> ±∞

Aufgaben mit Lösungsweg

1. Grad einer ganzrationalen Funktion: Betrachte die Funktion $f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 7$. Welchen Grad hat diese ganzrationale Funktion?
2. Globalverhalten erkennen: Fülle die Lücken mit den passenden Begriffen aus.
3. Globalverhalten bestimmen: Der Funktionsgraph von $f(x) = -x^4 + 3x^2 - 5x + 1$ hat für $x \to \infty$ das Globalverhalten $f(x) \to -\infty$.
4. Globalverhalten nach links: Welches der folgenden Globalverhalten beschreibt die Funktion $f(x) = 0.5x^5 - 2x^3 + x$ für $x \to -\infty$?
5. Globalverhalten nach links: Betrachte die ganzrationale Funktion $f(x) = -2x^4 + 3x^3 - x + 5$. Wie verhält sich der Funktionsgraph für $x \to -\infty$?
6. Funktionen zu Globalverhalten: Ordne die Funktionen ihrem richtigen Globalverhalten für $x \to +\infty$ zu.
7. Globalverhalten aus Graph: Gegeben ist der Funktionsgraph einer ganzrationalen Funktion. Bestimme das Globalverhalten für $x \to -\infty$ und $x \to +\infty$.

Wichtige Begriffe

Funktionsgraph

Stell dir vor, eine Funktion ist wie eine "Berechnungsmaschine": Du wirfst einen $x$-Wert hinein, und die Maschine spuckt nach einer festen Regel den passenden $y$-Wert aus. Der **Funktionsgraph** (of

Grad einer Funktion

Der **Grad einer Funktion** (genauer: einer ganzrationalen Funktion oder eines Polynoms) verrät dir auf einen Blick, wie sich der Graph der Funktion verhält. Er hilft dir zu verstehen, wie viele Kurve

Grenzwert einer Funktion

Der **Grenzwert** einer Funktion (oft auch **Limes** genannt) beschreibt, wie sich die y-Werte einer Funktion verhalten, wenn du dich mit den x-Werten entweder einer bestimmten Zahl näherst oder immer

Exponent

Wenn du dieselbe Zahl mehrmals mit sich selbst multiplizieren möchtest, kannst du diese Rechnung als Potenz abkürzen. Der **Exponent** (oft auch **Hochzahl** genannt) steht hochgestellt rechts an der

Globalverhalten

Wenn du dir einen Funktionsgraphen anschaust, fragst du dich manchmal: Was passiert eigentlich ganz weit außerhalb unseres sichtbaren Bildschirms – also ganz weit links und ganz weit rechts? Genau das

Ganzrationale Funktionen

Worum geht's hier? Wir schauen uns eine große und wichtige Familie von Funktionen an: die **ganzrationalen Funktionen**. Du kennst bereits einige Mitglieder dieser Familie, auch wenn du sie vielleicht