Gleichungssystem ohne Lösung

Manchmal hat ein lineares Gleichungssystem (LGS) einfach keine Lösung . Das bedeutet, dass es kein Zahlenpaar (x|y) gibt, das beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt. Die Gleichungen widersprechen sich gegenseitig. Geometrisch kannst du dir jede Gleichung als eine Gerade im Koordinatensystem vorstellen. Die Lösung des Systems ist der gemeinsame Schnittpunkt. Wenn das Gleichungssystem keine Lösung hat, bedeutet das: Die beiden Geraden sind echt parallel zueinander – sie besitzen dieselbe Steigung, aber unterschiedliche y -Achsenabschnitte, und schneiden sich daher nie. Es gibt keine spezielle Formel, um die Unlösbarkeit sofort zu berechnen. Stattdessen erkennst du sie beim Rechnen (z. B. mit dem Gleichsetzungs-, Einsetzungs- oder Additionsverfahren). Wenn sich während der Umformung alle Variablen eliminieren (wegfallen) und eine offensichtlich falsche Aussage (ein Widerspruch) entsteht, hat das LGS keine Lösung: 0 = c quad text{mit } c neq 0 Ein typisches Ergebnis ist beispielsweise 0 = 5 oder 0 = -2 . Da diese Aussage mathematisch falsch ist, gibt es kein Zahlenpaar, das das System löst. Die Lösungsmenge ist die leere Menge : L = { } quad text{oder} quad L = emptyset Wir starten mit einem einfachen Beispiel, bei dem man den Widerspruch direkt sehen kann. Given: I: quad x + y = 4 II: quad x + y = 6 Rechnerischer Nachweis (Additionsverfahren): Wir multiplizieren die erste Gleichung mit -1 , um die Variable x zu eliminieren: I': quad -x - y = -4 II: quad x + y = 6 Nun addieren wi