Extremwertproblem

Bei Extremwertproblemen (oft auch Optimierungsaufgaben genannt) suchst du nach dem „bestmöglichen“ Ergebnis. In der Mathematik bedeutet das: Du willst für eine bestimmte Größe den größtmöglichen Wert (das Maximum ) oder den kleinstmöglichen Wert (das Minimum ) finden. Typische Alltagsbeispiele sind: Wie baut man ein Gehege mit möglichst großer Fläche bei begrenzter Zaunlänge? Wie gestaltet man eine Verpackung so, dass sie viel Inhalt bietet, aber wenig Material verbraucht? Im Kern läuft es immer darauf hinaus, den höchsten oder tiefsten Punkt einer mathematischen Kurve (den Hoch- oder Tiefpunkt) zu bestimmen. Um ein Extremwertproblem sicher zu lösen, hilft dir ein fester Fahrplan aus fünf Schritten. Die Schritte im Detail: 1. Hauptbedingung (HB) aufstellen: Überlege dir, welche Größe maximal oder minimal werden soll. Schreibe dafür die passende Formel auf. Diese Formel enthält am Anfang meist noch zwei Variablen. text{Beispiel Flächeninhalt: } A = a cdot b 2. Nebenbedingung (NB) aufstellen: Suche im Text nach der Einschränkung (einer festen Zahl). Schreibe auch dazu eine Formel auf. text{Beispiel Umfang: } U = 2a + 2b = 30 text{ m} 3. Zielfunktion erstellen (Der Schlüsselgipfel): Stelle die Nebenbedingung nach einer Variablen um (z. B. nach a ) und setze diesen Ausdruck in die Hauptbedingung ein. Jetzt hast du eine Funktion, die nur noch von einer Variablen abhängt. Das ist deine Zielfunktion . a = 15 - b implies A(b) = (15 - b) cdot b = 15b - b^2 4. Extremwert bestimmen: In