Differenzialrechnung in Sachzusammenhängen

Aufgaben mit Lösungsweg

1. Hochpunkt bestimmen: Die Funktion $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ beschreibt den Verlauf einer Straße. Bestimme die $x$-Koordinate des Hochpunkts dieser Straße.
2. Tiefpunkt der Kostenfunktion: Ein Unternehmen produziert Rohre. Die Kostenfunktion $K(x) = 0.5x^2 - 4x + 10$ beschreibt die Kosten in Euro pro produzierter Einheit $x$. Die gezeigte Funktion stellt diese Kosten dar. ```plot range: [-1, 10] f(x) = 0.5
3. Extremstellen und Wendestellen: Fülle die Lücken mit den passenden Begriffen aus.
4. Wendepunkt bestimmen: Eine Funktion $g(x) = 2x^3 - 12x^2 + 18x + 5$ hat ihren Wendepunkt bei welcher $x$-Koordinate?
5. Maximale Höhe einer Rakete: Die Höhe einer Rakete (in Metern) über dem Boden wird durch die Funktion $h(t) = -t^3 + 12t^2 + 10t$ beschrieben, wobei $t$ die Zeit in Sekunden nach dem Start ist ($t \ge 0$). Nach wie vielen Sekunden erreicht die Raket
6. Wendestellen bestimmen: Eine Funktion $f(x) = x^4 - 6x^2 + 8x$ hat einen Wendepunkt. Bei welchen $x$-Werten liegen die Wendestellen dieser Funktion?

Wichtige Begriffe

Wendepunkt

Ein **Wendepunkt** ist ein ganz besonderer Punkt auf dem Graphen einer Funktion. Stell dir vor, du fährst mit dem Fahrrad eine kurvige Straße entlang. Zuerst fährst du eine Rechtskurve, dann wechselst

Extremwertproblem

Bei **Extremwertproblemen** (oft auch **Optimierungsaufgaben** genannt) suchst du nach dem „bestmöglichen“ Ergebnis. In der Mathematik bedeutet das: Du willst für eine bestimmte Größe den größtmöglich

Extremstelle

Eine **Extremstelle** ist der $x$-Wert auf der waagerechten Achse, an dem ein Funktionsgraph seinen höchsten Punkt (einen „Hügel“ oder ein Maximum) oder seinen tiefsten Punkt (ein „Tal“ oder ein Minim

Wendestelle

Stell dir vor, du fährst mit dem Fahrrad eine kurvige Straße entlang. Zuerst lenkst du nach links (Linkskurve) und plötzlich musst du umschwenken und nach rechts lenken (Rechtskurve). Genau die Stelle

Hochpunkt

Stell dir vor, du fährst mit dem Fahrrad einen Hügel hinauf und auf der anderen Seite wieder hinunter. Genau auf dem Gipfel stehst du am höchsten Punkt – dem **Hochpunkt**. In der Mathematik ist ein H

Tiefpunkt

Ein **Tiefpunkt** (oft mit $T$ abgekürzt) ist der am tiefsten gelegene Punkt auf einem Funktionsgraphen in einem bestimmten Bereich. Du kannst ihn dir wie die Talsohle eines Hügelgeländes vorstellen: