Exponentialgleichung

Worum geht's hier eigentlich? Bei einer Exponentialgleichung steht die gesuchte Unbekannte (meistens x ) nicht auf dem Boden, sondern "gefangen" in der Hochzahl, also im Exponenten . Unser Ziel ist es, herauszufinden, welcher Wert für x eingesetzt werden muss, damit die Gleichung eine wahre Aussage ergibt. Um das x aus der Luft nach unten zu holen, nutzen wir das passende mathematische Gegenwerkzeug: den Logarithmus . Er ist die Gegenoperation (Umkehrung) zum Potenzieren. Eine einfache Exponentialgleichung hat die Grundform: a cdot b^x = c Dabei ist b die Basis und x der gesuchte Exponent. Um solche Gleichungen systematisch zu lösen, hilft ein fester Fahrplan: Die Wahl des passenden Logarithmus: Bei der Basis e (Euler'sche Zahl): Verwende den natürlichen Logarithmus ( ln ). Bei der Basis 10 : Verwende den Zehnerlogarithmus ( lg oder log {10} ). Bei jeder anderen Basis b : Verwende den Logarithmus zur Basis b ( log b ). Aufgabe: Löse die Gleichung 2^x = 8 . Lösung: Hier ist der Potenzterm 2^x bereits isoliert. Wir fragen uns: „2 hoch welche Zahl ergibt 8?“ Da 2 cdot 2 cdot 2 = 8 ist (also 2^3 = 8 ), muss x = 3 sein. Mathematisch gelöst mit dem Logarithmus zur Basis 2: 2^x = 8 quad | log 2() x = log 2(8) x = 3 Grafisch entspricht die Lösung dem x -Wert des Schnittpunkts zwischen dem Graphen der Exponentialfunktion f(x) = 2^x und der waagerechten Geraden y = 8 . Aufgabe: Finde die Lösung für t in der Gleichung 10^{t+1} = 44 . Lösung: Der Potenzterm 10^{t+1} steht bereits allein