Differenzenquotient (Ableitung)

Wie steil ist eine Kurve an einer ganz bestimmten Stelle? Bei einer linearen Funktion (einer Geraden) ist die Steigung überall gleich. Bei einer gekrümmten Kurve ändert sie sich jedoch in jedem Punkt. Um die Steigung in einem einzigen Punkt P zu bestimmen, nutzen wir einen Trick: Wir berechnen zuerst die Steigung einer Verbindungsgeraden durch zwei Punkte P und Q . Diese Gerade heißt Sekante . Ihre Steigung beschreibt die mittlere Änderung in diesem Bereich und wird über den Differenzenquotienten berechnet. Wenn wir den zweiten Punkt Q nun immer näher an den Punkt P heranschieben (der Abstand wird unendlich klein), wird aus der Sekante eine Tangente . Diese berührt die Kurve nur noch exakt im Punkt P . Ihre Steigung ist die punktgenaue Steigung der Kurve in diesem Punkt – der Differentialquotient (auch bekannt als erste Ableitung ). Für die rechnerische Annäherung nutzt man die h -Methode . Dabei steht h (oft auch Delta x ) für den horizontalen Abstand zwischen den zwei Punkten P und Q . Der Differenzenquotient (Sekantensteigung m S ) lautet: m S = frac{ Delta y}{ Delta x} = frac{f(x+h) - f(x)}{h} Lassen wir den Abstand h über einen Grenzwert (Limes) gegen Null laufen ( h to 0 ), schrumpft das Steigungsdreieck zusammen. Wir erhalten den Differentialquotienten (Tangentensteigung) und damit die Definition der Ableitung f'(x) an der Stelle x : f'(x) = lim {h to 0} frac{f(x+h) - f(x)}{h} Die Bestandteile der Formel im Detail: f(x) ist der Funktionswert am Startpunkt x (die Höhe b