Beziehung zwischen F, f und f'

Wie hängen eine Funktion f , ihre erste Ableitung f' (die Steigung) und ihre zweite Ableitung f'' (die Krümmung) mathematisch zusammen? Wer diesen Code knackt, kann aus dem Graphen einer Funktion direkt die Graphen der Ableitungen skizzieren – und umgekehrt. Dieser grafische Zusammenhang gehört zu den wichtigsten Grundlagen der Analysis in der Oberstufe. Die Ableitungen liefern uns präzise Informationen über das Verhalten des ursprünglichen Graphen. Betrachtet man die Graphen übereinandergelegt, erkennt man feste Gesetzmäßigkeiten an markanten Stellen wie Extrem- und Wendepunkten. In der folgenden Grafik siehst du eine Beispielfunktion f und ihre beiden Ableitungen. Die gestrichelten vertikalen Hilfslinien verbinden die entscheidenden Stellen: Blau: Ausgangsfunktion f(x) = 0{,}5(x^3 - 3x) Grün: Erste Ableitung f'(x) = 1{,}5x^2 - 1{,}5 Rot: Zweite Ableitung f''(x) = 3x --- 1. Zusammenhang zwischen f und f' (Die „NEW“-Regel) Als perfekte Eselsbrücke dient die N-E-W-Regel ( N ullstelle, E xtremstelle, W endestelle). Wenn du die drei Buchstaben für die jeweiligen Ableitungsstufen diagonal versetzt untereinander aufschreibst, kannst du die Zusammenhänge direkt vertikal ablesen: begin{array}{rccc} text{Funktion } f: & mathbf{N} & mathbf{E} & mathbf{W} & & downarrow & downarrow text{1. Ableitung } f': & & mathbf{N} & mathbf{E} & & & downarrow text{2. Ableitung } f'': & & & mathbf{N} end{array} Extrempunkte werden zu Nullstellen: Hat die Ausgangsfunktion f einen Hochpunkt H(-1 mid 1)