Achsensymmetrie

Ein Funktionsgraph ist achsensymmetrisch , wenn er sich an einer senkrechten Geraden (der Symmetrieachse) spiegeln lässt, sodass er exakt auf sich selbst abgebildet wird. Wir unterscheiden zwei Fälle: die Spiegelung an der y -Achse (der f(x) -Achse) und die Spiegelung an einer beliebigen senkrechten Geraden x=a . Achsensymmetrie zur y -Achse ( f(x) -Achse) Wenn man einen Punkt auf dem Graphen an der y -Achse spiegelt, hat sein Spiegelbild dieselbe Höhe ( y -Wert), aber das entgegengesetzte Vorzeichen auf der x -Achse. Mathematisch muss für alle x des Definitionsbereichs gelten: f(-x) = f(x) Tipp für ganzrationale Funktionen (Potenzfunktionen): Besteht der Funktionsterm im ausmultiplizierten Zustand ausschließlich aus geraden Exponenten von x (z. B. x^4 , x^2 oder konstanten Gliedern wie 5 , was als 5x^0 am Rechner gilt), ist der Graph immer achsensymmetrisch zur y -Achse. --- Achsensymmetrie zu einer beliebigen Senkrechten x = a Soll eine Funktion symmetrisch zu einer beliebigen senkrechten Geraden mit der Gleichung x=a sein, muss die folgende Bedingung erfüllt sein: f(a-x) = f(a+x) Das bedeutet anschaulich: Egal ob man vom Symmetriezentrum a um eine Strecke x nach links ( a-x ) oder nach rechts ( a+x ) geht, man erhält immer denselben Funktionswert. Beispiel 1: Einfache Parabel Wir untersuchen die Normalparabel f(x) = x^2 auf Symmetrie zur y -Achse. Nachweis: Wir setzen -x in die Funktion ein und prüfen, ob wieder die Ausgangsfunktion entsteht: f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x) Da