Verkettung von Funktionen

Stell dir vor, du hast zwei „Rechenmaschinen“. Die erste Maschine f nimmt eine Zahl x , berechnet ein Ergebnis f(x) und spuckt dieses aus. Die zweite Maschine g wartet schon, nimmt genau dieses Ergebnis als neuen Startwert und berechnet damit das Endergebnis g(f(x)) . Das ist die Grundidee der Verkettung von Funktionen (auch Hintereinanderausführung genannt): Wir schalten zwei Funktionen hintereinander, um aus einfachen Bausteinen neue, komplexere Funktionen zu bauen. Bei einer Verkettung wird auf eine Variable x zuerst eine innere Funktion und auf deren Ergebnis eine äußere Funktion angewendet. Wir schreiben das so: h(x) = g(f(x)) Gesprochen: „ g von f von x “ Innere Funktion f : Sie bekommt zuerst das x und berechnet f(x) . Äußere Funktion g : Sie nimmt den fertigen Wert f(x) als Eingabe (Argument) anstelle eines einfachen x . Eine alternative Schreibweise ist: (g circ f)(x) = g(f(x)) Der Kreis circ steht für „verknüpft mit“ oder „nach“. Das bedeutet: Wendere zuerst f an, danach g . WICHTIG: Die Reihenfolge ist fast immer entscheidend! Vertauschst du die Funktionen, kommt meist ein völlig anderes Ergebnis heraus: (g circ f)(x) neq (f circ g)(x) Gegeben sind zwei einfache lineare Funktionen: f(x) = x + 2 g(x) = 3x 1. Wir bilden die Verkettung g(f(x)) : Wir setzen den gesamten Funktionsterm von f(x) für das x in der äußeren Funktion g(x) ein. g( color{blue}{f(x)} color{black}{)} = g( color{blue}{x + 2} color{black}{)} Da g jeden Input mit 3 multipliziert, klammern wir den ein