Uneigentliche Integral

Worum geht's hier? Manchmal wollen wir die Fläche unter einem Graphen berechnen, die sich bis ins Unendliche erstreckt. Ein anderes Mal liegt eine Grenze direkt an einer Polstelle (einer Stelle, an der der Graph steil nach oben abhaut). Klingt unmöglich, oder? Kann eine unendlich lange Fläche überhaupt einen endlichen, also berechenbaren, Inhalt haben? Genau das finden wir mit uneigentlichen Integralen heraus. Wir nutzen einen Trick mit Grenzwerten (dem Limes), um diese speziellen Integrale exakt zu berechnen. Ein uneigentliches Integral liegt vor, wenn mindestens eine der Grenzen unendlich ( pm infty ) ist oder wenn die Funktion an einer der Grenzen unendlich groß wird (z. B. an einer Polstelle). Der Grundgedanke ist immer derselbe: Wir ersetzen die "problematische" Grenze durch eine Variable c und berechnen das Integral ganz normal in Abhängigkeit von c . Danach lassen wir c mithilfe eines Grenzwerts (Limes) gegen die eigentliche Grenze laufen. Fall 1: Die obere Grenze ist unendlich oder eine Polstelle b int {a}^{b} f(x) , dx = lim {c to b} int {a}^{c} f(x) , dx Wir integrieren zuerst bis zu einer variablen Grenze c (die kurz vor b liegt) und lassen c anschließend gegen b laufen. Fall 2: Die untere Grenze ist unendlich oder eine Polstelle a int {a}^{b} f(x) , dx = lim {c to a} int {c}^{b} f(x) , dx Wir starten die Integration bei c und lassen c dann gegen a laufen. Wichtiger Begriff: Existiert dieser Grenzwert und ergibt eine konkrete Zahl, so konvergiert das uneigentliche