Rotationskörper

Aufgaben mit Lösungsweg

1. Volumen einer Massagerolle: Mathias ist Schreiner und möchte seiner Freundin eine Massagerolle aus Holz schnitzen. Er findet, dass eine Massagerolle, deren äußere Form der Funktion $f(x) = \sin(5x) + 2$ gleicht, am besten geeignet ist für ein optim
2. Länge einer Kurve: Eine der steilsten Skipisten der Welt, die Harakiri, befindet sich im Skigebiet Zillertal in Österreich. Ihre Abfahrt lässt sich mit der Funktion $$f(x) = 1000 - \frac{(4x-1)^{3/2}}{6}$$ beschreiben und von den beiden Ko
3. Magmavolumen berechnen: In Japan befindet sich ein Vulkan, in dessen Inneren sich flüssiges Magma befindet. Da die Gefahr eines Ausbruches relativ hoch ist, müssen die Vulkanexperten wissen, wie viel flüssiges Magma sich genau im Inneren befind
4. Anzahl vergoldeter Pfeile: In einer Woche werden im wunderschönen Tübingen die Weltmeisterschaften im Bogenschießen ausgetragen. Bowie wird dabei auch teilnehmen und erhofft sich einen Platz auf dem Siegertreppchen. Seine Pfeilspitze lässt sich mi
5. Bogenlänge berechnen: Berechne die Bogenlänge der Funktion $f(x) = \frac{1}{18} \cdot (12x - 1)^{\frac{3}{2}}$ zwischen $x = 3^{\frac{1}{3}}$ und $x = 4 \cdot 3^{\frac{1}{3}}$.
6. Bogenlänge berechnen: Berechne die Bogenlänge der Funktion $f(x) = \frac{2}{27} \cdot (9x - 1)^{\frac{3}{2}}$ zwischen $x = 0$ und $x = 1$.
7. Mantelfläche Rotationskörper: Berechne die Mantelfläche des Rotationskörpers, welcher entsteht, wenn die Funktion $f(x) = \sqrt{3}x$ zwischen $x = 0$ und $x = 4$ um die $x$-Achse rotiert. Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
8. Mantelfläche Rotationskörper: Berechne die Mantelfläche des Rotationskörpers, welcher entsteht, wenn die Funktion $f(x) = \sqrt{3x+1}$ zwischen $x = 0.25$ und $x = 3$ um die x-Achse rotiert. Gib als Lösung die Mantelfläche des Rotationskörpers in Vie
9. Volumen eines Rotationskörpers: Lasse die Funktion $f(x) = x^2 - \sqrt{\frac{2}{\pi}}$ um die $y$-Achse rotieren und berechne das Volumen des Rotationskörpers, der dabei zwischen dem Funktionsgraphen und der $x$-Achse entsteht.
10. Volumen eines Rotationskörpers: Lass die Funktion $f(x) = \frac{1}{4}x^2$ um die y-Achse rotieren und berechne das Volumen des Rotationskörpers, der dabei zwischen $y = \frac{3}{\sqrt{\pi}}$ und $y = \frac{15}{\sqrt{\pi}}$ entsteht.
11. Rotationsvolumen y-Achse: Berechne das Volumen des Körpers, der bei Rotation der Funktion $f(x) = \frac{1}{x^2}$ um die $y$-Achse entsteht. Gehe dabei von $y=1$ bis $y=6$.
12. Volumen eines Kegelstumpfes: Berechne das Volumen des Rotationskörpers, der durch die Rotation der Funktion $f(x) = \frac{1}{2}x + 1$ um die x-Achse im Intervall $[0, 4]$ entsteht. Runde dein Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Wichtige Begriffe

Bestimmtes Integral

Worum geht's hier? Mit dem **bestimmten Integral** berechnen wir den **orientierten Flächeninhalt** zwischen dem Graphen einer Funktion $f$ und der $x$-Achse in einem definierten Bereich (Intervall) $

Bogenlänge

Stell dir vor, du planst eine Route auf einer kurvigen Bergstraße und möchtest wissen, wie viele Kilometer du tatsächlich zurücklegst. Oder du nimmst einen kreisförmigen Faden und ziehst ihn gerade, u

Integrationsregeln

Manche Integrale wirken auf den ersten Blick kompliziert. **Integrationsregeln** helfen dir dabei, bestimmte Integrale geschickt zu vereinfachen, aufzuteilen oder umzuformen. Dadurch lässt sich eine s

Rotationsachse

Wenn du eine flache Figur im Koordinatensystem um eine feste Gerade drehst (rotieren lässt), entsteht ein dreidimensionaler Körper – ein sogenannter **Rotationskörper**. Die Gerade, um die sich alles

Rotationskörper x-Achse

Rotationskörper durch Drehung um die x-Achse Ein Rotationskörper entsteht, wenn eine Funktion um die x-Achse gedreht wird. Die x-Achse und die Funktion schließen dann keine Fläche mehr ein, sondern ei

Rotationskörper y-Achse

Rotationskörper durch Drehung um die y-Achse Ein Rotationskörper entsteht, wenn eine Funktion f um die y-Achse gedreht wird. Dessen Volumen kann dann mithilfe der Umkehrfunktion g berechnet werden und

Unbestimmtes Integral

Das unbestimmte Integral ist die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion. Eine Stammfunktion F ist so definiert, dass ihre Ableitung F‘ wieder die Ausgangsfunktion f ergibt. Da wir wissen, dass bei

Uneigentliche Integral

Worum geht's hier? Manchmal wollen wir die Fläche unter einem Graphen berechnen, die sich bis ins Unendliche erstreckt. Ein anderes Mal liegt eine Grenze direkt an einer Polstelle (einer Stelle, an de

Volumen des Rotationskörpers

Bei der Rotation um die y-Achse lässt sich das Volumen des Rotationskörpers so berechnen: V = π ⋅ ∫ a b ( f − 1 ( x ) ) 2 d x MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBP

Erklärvideos

• Volumen von Rotationskörpern - Integral Advanced 3 Remake