Integralrechnung

Aufgaben mit Lösungsweg

1. Integral berechnen: Berechne das Integral der Funktion $f(x) = 3(x-3) \cdot x \cdot (2x+1) + 9$ im Intervall $[-1; 4]$.
2. Flächeninhalt Schaubild und Achsen: Berechne den Inhalt der Fläche, die das Schaubild von $f$ mit $f(x) = \frac{4}{x+1} - 1$ mit den Koordinatenachsen einschließt. Runde dabei erst das Endergebnis auf zwei Nachkommastellen.
3. Bestimmtes Integral berechnen: Berechne das Integral: $$\int_0^2 \left( \frac{1}{2} e^x - x^2 \right) \,dx$$ Gib als Lösung das Ergebnis des Integrals auf zwei Nachkommastellen gerundet.
4. Fläche unter Funktionsgraph: Gegeben ist die Funktion $f(x) = x^2 - x - 2$. Berechne die Fläche, welche durch den Funktionsgraphen und die x-Achse eingeschlossen wird.
5. Integral berechnen: Berechne das Integral $$ \int_0^2 \left( \frac{1}{2} e^x - x^2 \right) dx $$ Gib als Lösung das gerundete Ergebnis des Integrals auf zwei Nachkommastellen ein.
6. Stromanbieter wechseln: Kann Familie Ohr wirklich mindestens $100$€ im Jahr sparen, wenn sie den Stromanbieter wechseln? Die monatlichen Stromkosten des alten Anbieters lassen sich durch die Funktion $k_1(t) = \frac{25}{24} t^2 - \frac{145}{12}
7. Integral berechnen: Berechne das Integral $$\int_0^{\ln 2} e^{2x} \,dx$$.
8. Stammfunktion bestimmen: Welche der folgenden Stammfunktionen ist die richtige für die Funktion $f(x) = 2x^4 - x^3 + 3 \cdot \cos(-3x + 5)$?
9. Stammfunktion trigonometrisch: Bestimme die Stammfunktion für die Funktion $f(x)=2 \cdot \sin(-4x-1)$.
10. Flächeninhalt zwischen f(x) und x-Achse: Bestimme den Inhalt der Fläche, welche zwischen der Funktion $f(x) = \sin(x) + 4\pi$ im Intervall $[0; 2\pi]$ und der $x$-Achse eingeschlossen wird.
11. Flächeninhalt berechnen: Berechne den Inhalt der Fläche, welche zwischen der Funktion $f(x) = 5 \cos(x)$ im Intervall $[0; 2\pi]$ und der $x$-Achse eingeschlossen wird.
12. Fläche unter Funktion: Berechne die Fläche, welche die Funktion $f(x) = 8 \left( -0.5 x^2 + 4.5 \right) / x^2$ im Intervall $[2; 6]$ mit der x-Achse einschließt.

Wichtige Begriffe

Stammfunktion

Die Stammfunktion F einer Funktion f ist so definiert, dass ihre Ableitungsfunktion F‘ wieder der Ausgangsfunktion f entspricht. Es gilt also: F ' ( x ) = f ( x ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqa

Bestimmtes Integral

Worum geht's hier? Mit dem **bestimmten Integral** berechnen wir den **orientierten Flächeninhalt** zwischen dem Graphen einer Funktion $f$ und der $x$-Achse in einem definierten Bereich (Intervall) $

Der Hauptsatz

Der **Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung** (oft kurz **HDI** genannt) ist das fundamentale Bindeglied der Analysis. Er schlägt die Brücke zwischen zwei scheinbar völlig verschiedenen mat

Faktorregel: Stammfunktion

Worum geht's hier eigentlich? Stell dir vor, du hast eine Funktion, bei der eine einfache Zahl als **konstanter Faktor** vor dem eigentlichen Term steht, zum Beispiel $f(x) = 2 \cdot x^3$. Die Faktorr

Fläche zwischen Funktion und x-Achse

Wenn wir die **tatsächliche (geometrische) Fläche** zwischen einem Funktionsgraphen und der $x$-Achse berechnen wollen, stehen wir vor einer mathematischen Besonderheit: Flächenstücke oberhalb und unt

Fläche zwischen zwei Funktionen

Stell dir vor, zwei Graphen im Koordinatensystem kreuzen sich und schließen eine Fläche ein – ähnlich wie bei einem eingepackten Bonbon. Wenn du wissen willst, wie groß diese Fläche ist, hilft dir ein

Integralfunktion

Stell dir vor, du möchtest den Flächeninhalt unter einer Kurve berechnen, aber eine der Grenzen ist nicht fest, sondern variabel. Genau das leistet die **Integralfunktion**: Sie ist eine „Flächeninhal

Integrationsregeln

Manche Integrale wirken auf den ersten Blick kompliziert. **Integrationsregeln** helfen dir dabei, bestimmte Integrale geschickt zu vereinfachen, aufzuteilen oder umzuformen. Dadurch lässt sich eine s

Lineare Substitution

Manchmal triffst du auf Integrale von Funktionen, die ineinander verschachtelt („verkettet“) sind. Wenn du eine solche Funktion ableiten willst, nutzt du die Kettenregel. Die **lineare Substitution**

Mittelwert einer Funktion

Der **Mittelwert einer Funktion** gibt den durchschnittlichen Funktionswert (y-Wert) über einem bestimmten Intervall an. Stell dir vor, eine Funktion zeigt den Temperaturverlauf über einen Tag. Der Mi

Potenzregel: Stammfunktion

Worum geht es hier? Die Potenzregel für die Stammfunktion ist eines der wichtigsten Werkzeuge der Integralrechnung. Wenn du die Fläche unter dem Graphen einer Funktion berechnen möchtest, benötigst du

Potenzumformungen

Worum geht's? Viele mathematische Terme enthalten Brüche oder Wurzeln. Um mit ihnen einfacher rechnen zu können – zum Beispiel beim Ableiten oder Integrieren in der Oberstufe –, wandeln wir sie in ein

Unbestimmtes Integral

Das unbestimmte Integral ist die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion. Eine Stammfunktion F ist so definiert, dass ihre Ableitung F‘ wieder die Ausgangsfunktion f ergibt. Da wir wissen, dass bei

Uneigentliche Integral

Worum geht's hier? Manchmal wollen wir die Fläche unter einem Graphen berechnen, die sich bis ins Unendliche erstreckt. Ein anderes Mal liegt eine Grenze direkt an einer Polstelle (einer Stelle, an de

Erklärvideos

• Integral von Hand berechnen
• "Aufleiten" / Stammfunktion
• Video rwv7IMF4uw8
• Unbeschränkte Integrale – Integrieren bis Unendlich - Abitur
• Integral - Flächen unter der x-Achse
• Fläche zwischen 2 Kurven - Integral