Skalarprodukt

Das Skalarprodukt (auch inneres Produkt genannt) verknüpft zwei Vektoren miteinander. Worum geht's dabei? Das Besondere ist, dass das Ergebnis kein neuer Vektor ist, sondern eine einfache Zahl (ein sogenannter Skalar ). Mit dem Skalarprodukt können wir zwei super wichtige Dinge tun: 1. Überprüfen, ob zwei Vektoren senkrecht (orthogonal) zueinander stehen. 2. Den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen. Die wichtigste Anwendung in der Schule ist die Orthogonalitätsprüfung . Zwei Vektoren vec{a} und vec{b} stehen genau dann im rechten Winkel zueinander, wenn ihr Skalarprodukt Null ergibt. Das ist eine extrem nützliche Abkürzung! Die Formel zur Berechnung des Skalarprodukts ist zum Glück sehr einfach. Wir multiplizieren die einzelnen Koordinaten der Vektoren paarweise und addieren anschließend die Ergebnisse. Im Zweidimensionalen ( mathbb{R}^2 ): vec{a} cdot vec{b} = begin{pmatrix} a 1 a 2 end{pmatrix} cdot begin{pmatrix} b 1 b 2 end{pmatrix} = a 1 cdot b 1 + a 2 cdot b 2 Im Dreidimensionalen ( mathbb{R}^3 ): vec{a} cdot vec{b} = begin{pmatrix} a 1 a 2 a 3 end{pmatrix} cdot begin{pmatrix} b 1 b 2 b 3 end{pmatrix} = a 1 cdot b 1 + a 2 cdot b 2 + a 3 cdot b 3 Regel für Orthogonalität (rechter Winkel): Zwei Vektoren vec{a} und vec{b} sind genau dann orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt Null ist. vec{a} perp vec{b} quad iff quad vec{a} cdot vec{b} = 0 Aufgabe: Überprüfe, ob die Vektoren vec{a} = begin{pmatrix} 3 1 end{pmatrix} und vec{b} = begin{pmatrix} -1 3 end{pmatrix} s