Potenzumformungen

Worum geht's? Viele mathematische Terme enthalten Brüche oder Wurzeln. Um mit ihnen einfacher rechnen zu können – zum Beispiel beim Ableiten oder Integrieren in der Oberstufe –, wandeln wir sie in eine einheitliche Form um: eine Potenz der Form a cdot x^n . Das macht das Arbeiten mit Funktionen übersichtlich und vereinheitlicht die Rechenregeln. Im Diagramm siehst du: Rot: f(x) = x^2 (klassische Potenzfunktion) Grün: g(x) = frac{1}{x} = x^{-1} (negativer Exponent) Blau: h(x) = sqrt{x} = x^{ frac{1}{2}} (gebrochener Exponent) Für diese Umformungen gibt es zwei grundlegende Regeln: 1. Brüche in Potenzen umformen (negative Exponenten) Steht die Variable im Nenner (unten), wandert sie mit einem Minuszeichen im Exponenten nach oben in den Zähler: frac{a}{x^n} = a cdot x^{-n} Dabei gilt: a ist ein konstanter Faktor, der einfach vor der Potenz stehen bleibt. x ist die Basis. n ist der ursprüngliche Exponent im Nenner. 2. Wurzeln in Potenzen umformen (gebrochene Exponenten) Jede Wurzel lässt sich als Potenz mit einem Bruch als Hochzahl schreiben: a cdot sqrt[n]{x^m} = a cdot x^{ frac{m}{n}} Dabei gilt: a ist der Faktor vor der Wurzel. x ist die Basis (der Radikand unter der Wurzel). m ist der Exponent in der Wurzel (Zähler des Bruchs). n ist der Wurzelexponent (Nenner des Bruchs). Merkhilfe: „Hochzahl durch Wurzel“ oder „Innen durch Außen“ . Beispiel 1: Einfacher Kehrwert Forme den Term frac{1}{x} um. Da x keinen sichtbaren Exponenten hat, gilt x = x^1 : frac{1}{x} = frac{1}{x^1} = x