Logarithmus

Worum geht's hier eigentlich? Stell dir vor, du hast eine Gleichung, bei der die gesuchte Zahl x im Exponenten steht. Zum Beispiel: 2^x = 8 Durch kurzes Überlegen kommst du schnell auf x=3 , da 2 cdot 2 cdot 2 = 8 ist (also 2^3 = 8 ). Aber was machst du, wenn die Zahlen komplizierter werden, wie bei 2^x = 10 ? Hier hilft kein einfaches Raten mehr. Genau für dieses Problem gibt es den Logarithmus . Er ist das mathematische Umkehrwerkzeug, mit dem du Gleichungen nach einem Exponenten auflösen kannst. Die Exponentialgleichung und die Logarithmusgleichung drücken denselben Zusammenhang nur auf unterschiedliche Weise aus: Wenn gilt: a^x = b dann ist die Lösung dafür: x = log a(b) Gelesen wird das als: „ x ist der Logarithmus von b zur Basis a “. Dabei gilt für die beteiligten Zahlen ( a 0, a neq 1 und b 0 ): a (die Basis): Die Zahl, die unten steht und potenziert wird. b (der Numerus oder Logarithmand): Das Ergebnis der Potenzierung. x (der Logarithmus): Der gesuchte Exponent. Er beantwortet die Frage: „ a hoch wie viel ergibt b ?“. Wichtige Abkürzungen auf dem Taschenrechner: Zehnerlogarithmus (Basis 10): Statt log {10}(b) schreibt man oft kurz lg(b) oder nur log(b) . Natürlicher Logarithmus (Basis e approx 2{,}718 , Eulersche Zahl): Man schreibt abkürzend ln(b) . Wir lösen das Einstiegsbeispiel mathematisch exakt: 2^x = 8 Vorgehen: 1. Da die Unbekannte im Exponenten steht und die Basis 2 ist, wenden wir auf beiden Seiten den Logarithmus zur Basis 2 ( log 2 ) an: log 2(2^x) = log