Integrationsregeln

Manche Integrale wirken auf den ersten Blick kompliziert. Integrationsregeln helfen dir dabei, bestimmte Integrale geschickt zu vereinfachen, aufzuteilen oder umzuformen. Dadurch lässt sich eine schwierige Aufgabe oft in mehrere kleine, leicht lösbare Teilschritte zerlegen. Hier sind die fünf wichtigsten Regeln, die du für Berechnungen brauchst. 1. Faktorregel Ein konstanter Faktor c in mathbb{R} darf vor das Integral gezogen werden: int {a}^{b} c cdot f(x) ,dx = c cdot int {a}^{b} f(x) ,dx 2. Summenregel Bei einer Summe oder Differenz im Integranden darfst du die Terme einzeln integrieren: int {a}^{b} (f(x) pm g(x)) ,dx = int {a}^{b} f(x) ,dx pm int {a}^{b} g(x) ,dx (Die Faktor- und die Summenregel zusammen nennt man auch Linearität des Integrals). 3. Intervalladditivität Du kannst ein Integrationsintervall an einer beliebigen Stelle b aufteilen. Die Gesamtfläche entspricht der Summe der beiden Teilflächen: int {a}^{c} f(x) ,dx = int {a}^{b} f(x) ,dx + int {b}^{c} f(x) ,dx 4. Vertauschungsregel Wenn du die obere und die untere Integrationsgrenze vertauschst, ändert sich das Vorzeichen des Ergebnisses: int {a}^{b} f(x) ,dx = - int {b}^{a} f(x) ,dx 5. Gleiche Grenzen (Nullintegral) Ist die untere Grenze gleich der oberen Grenze, hat das Intervall die Breite Null. Es wird keine Fläche eingeschlossen: int {a}^{a} f(x) ,dx = 0 Aufgabe: Berechne das Integral int {5}^{5} (x^2 + 2x - 3) ,dx . Lösung: Hier musst du keine Stammfunktion bestimmen. Da die untere und die obere Grenze ide