Betrag, Länge eines Vektors

Wir wollen herausfinden, wie lang ein Vektor ist. Stell dir einen Vektor als einen Pfeil vor, der von einem Punkt zu einem anderen zeigt. Die Länge dieses Pfeils ist der Betrag des Vektors. Das ist super wichtig, wenn wir zum Beispiel Abstände im Raum berechnen wollen oder wissen möchten, wie schnell sich etwas bewegt. Die Länge eines Vektors (auch Betrag genannt) gibt an, wie lang der Pfeil des Vektors im Koordinatensystem ist. Mathematisch entspricht das dem Abstand zwischen dem Anfangs- und dem Endpunkt des Pfeils. Man schreibt den Betrag eines Vektors vec{v} mit Betragsstrichen: | vec{v}| . Herleitung im 2D-Raum (Ebene) Im zweidimensionalen Raum mit den Koordinaten x 1 und x 2 lässt sich die Länge direkt über den Satz des Pythagoras herleiten. Die beiden Koordinaten bilden die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, der Vektor selbst ist die Hypotenuse. Für einen Vektor vec{v} = begin{pmatrix} x 1 x 2 end{pmatrix} gilt: | vec{v}| = sqrt{x 1^2 + x 2^2} Erweiterung auf den 3D-Raum Im dreidimensionalen Raum kommt eine dritte Koordinate x 3 (für die Tiefe bzw. Höhe) hinzu. Der Satz des Pythagoras wird hier einfach um ein Glied erweitert (zweifache Anwendung des Pythagoras im Raum). Für einen Vektor vec{v} = begin{pmatrix} x 1 x 2 x 3 end{pmatrix} gilt: | vec{v}| = sqrt{x 1^2 + x 2^2 + x 3^2} Hinweis: Da jede Koordinate quadriert wird, ist das Ergebnis unter der Wurzel immer positiv (oder Null), selbst wenn einzelne Koordinaten negativ sind (z. B. (-3)^2 = 9 ). Wir starten dir