Ableitungsfunktion

Stell dir vor, du fährst mit dem Fahrrad einen Hügel hinauf und wieder hinunter. An jeder Stelle ist der Weg unterschiedlich steil. Wenn du wissen willst, wie steil dein Weg genau an einer bestimmten Stelle ist, hilft dir die Ableitungsfunktion . Sie ist wie ein „Steigungsmesser“, der dir für jeden Punkt des Ausgangsgraphen sofort die genaue Steigung (die Änderung) verrät. In der Grafik siehst du eine blaue Kurve f(x) und ihre rote Ableitungsfunktion f'(x) . Die Steigung der blauen Kurve am Punkt x = 2 entspricht genau dem Wert der roten Linie auf der Höhe y = 2 . Wenn man eine Funktion f(x) hat, schreibt man ihre Ableitungsfunktion mit einem kleinen Strich: f'(x) (gesprochen: „f Strich von x“). f'(x) = text{Steigung der Tangente an der Stelle } x Eine Tangente ist eine Gerade, die den Funktionsgraphen an einer Stelle genau berührt und dort dieselbe Steigung wie der Graph hat. Beispiel 1: Eine gerade Straße (Lineare Funktion) Eine gerade Straße hat überall die gleiche Steigung. Nehmen wir die Funktion: f(x) = 2x + 1 Da es sich um eine Gerade mit der konstanten Steigung m = 2 handelt, ist die Steigung an jeder Stelle genau gleich groß. Die Ableitungsfunktion ist deshalb sehr einfach: f'(x) = 2 Egal welchen Wert du für x einsetzt, die Steigung ist immer 2 . Beispiel 2: Eine Kurve (Quadratische Funktion) Bei einer Kurve ändert sich die Steigung ständig. Betrachten wir die Normalparabel: f(x) = x^2 Mit einer einfachen Ableitungsregel (die Zweierpotenz wandert nach vorne) erhält m