Wendestelle

Stell dir vor, du fährst mit dem Fahrrad eine kurvige Straße entlang. Zuerst lenkst du nach links (Linkskurve) und plötzlich musst du umschwenken und nach rechts lenken (Rechtskurve). Genau die Stelle, an der sich die Richtung dieser Kurve ändert – also der Übergang von einer Linkskurve in eine Rechtskurve oder umgekehrt –, nennt man in der Mathematik eine Wendestelle . An einer Wendestelle hat der Funktionsgraph außerdem seine größte Steigung oder sein stärkstes Gefälle. Die Krümmung eines Funktionsgraphen wird durch die zweite Ableitung f''(x) beschrieben. An einer Wendestelle x W ändert sich die Krümmung, weshalb dort die zweite Ableitung den Wert Null annimmt: f''(x W) = 0 Zusätzlich muss an dieser Stelle die dritte Ableitung ungleich Null sein ( f'''(x W) neq 0 ), was zeigt, dass tatsächlich ein Wechsel der Krümmung stattfindet. Der Punkt W (bei der Wendestelle x = 0 ) ist der Wendepunkt. Links davon verläuft die Kurve in einer Rechtskrümmung, rechts davon in einer Linkskrämmung. Einfache Wendestelle bestimmen Gegeben ist die Funktion f(x) = x^3 - 3x^2 . Wir suchen die Wendestelle. 1. Ableitungen bilden: f'(x) = 3x^2 - 6x f''(x) = 6x - 6 f'''(x) = 6 2. Zweite Ableitung gleich Null setzen ( f''(x) = 0 ): 6x - 6 = 0 quad | +6 6x = 6 quad | :6 x = 1 3. Prüfen mit der 3. Ableitung: f'''(1) = 6 neq 0 Die Wendestelle der Funktion liegt bei x = 1 . Der Sattelpunkt als besondere Wendestelle Wir untersuchen die Funktion f(x) = x^3 auf eine Wendestelle. 1. Ableitungen bilden: f'(x