Was ist Substitution bei sinus & cosinus?

Kurz und einfach erklärt: Es geht darum, verschobene und gestauchte trigonometrische Gleichungen der Form sin(b cdot (x - c)) = d oder cos(b cdot (x - c)) = d zu lösen. Der Grundgedanke ist dabei ganz simpel: In der Klammer hinter dem Sinus oder Kosinus steht ziemlich viel auf einmal. Das macht das direkte Auflösen nach x kompliziert. Unser Plan ist es nun, diesen gesamten Klammerausdruck zunächst durch einen einzigen Buchstaben (meistens z ) zu ersetzen. Diesen Trick nennen wir Substitution (vom lateinischen Wort für „Ersetzen“). Dadurch wird die Gleichung plötzlich ganz einfach! Wir lösen si

In welchen Mathe-Themen brauche ich Substitution bei sinus & cosinus?

Trigonometrische Funktionen, Gleichungen lösen

Substitution bei sinus & cosinus einfach erklärt

Worum geht's?

Kurz und einfach erklärt: Es geht darum, verschobene und gestauchte trigonometrische Gleichungen der Form sin ⁡ ( b ⋅ ( x − c ) ) = d \sin(b \cdot (x - c)) = d sin ( b ⋅ ( x − c )) = d oder cos ⁡ ( b ⋅ ( x − c ) ) = d \cos(b \cdot (x - c)) = d cos ( b ⋅ ( x − c )) = d zu lösen. Der Grundgedanke ist dabei ganz simpel: In der Klammer hinter dem Sinus oder Kosinus steht ziemlich viel auf einmal. Das macht das direkte Auflösen nach x x x kompliziert. Unser Plan ist es nun, diesen gesamten Klammerausdruck zunächst durch einen einzigen Buchstaben (meistens z z z ) zu ersetzen. Diesen Trick nennen wir Substitution (vom lateinischen Wort für „Ersetzen“). Dadurch wird die Gleichung plötzlich ganz einfach! Wir lösen sie entspannt nach z z z auf und machen die Ersetzung ganz am Ende wieder rückgängig ( Rücksubstitution ), um unser gesuchtes x x x zu erhalten.

Verschobene und gestreckte Sinusfunktion

b3.00c5.00

f(x) = sin(b*(x - c))

Zieh den Regler für c c c mal nach rechts und links – was passiert mit den Schnittpunkten der Kurve mit der x x x -Achse? Vermute erst, bevor du ziehst!

Formel mit Erklärung

Gegeben ist eine trigonometrische Gleichung mit innerer Streckung und Verschiebung: sin ⁡ ( b ⋅ ( x − c ) ) = d oder cos ⁡ ( b ⋅ ( x − c ) ) = d \sin(b \cdot (x - c)) = d \quad \text{oder} \quad \cos(b \cdot (x - c)) = d sin ( b ⋅ ( x − c )) = d oder cos ( b ⋅ ( x − c )) = d Dabei gilt: * b b b ist der Streckfaktor in x x x -Richtung (er verändert die Periodenlänge der Kurve). * c c c ist die Verschiebung entlang der x x x -Achse (nach rechts oder links). * d d d ist der Funktionswert (die Höhe auf der y y y -Achse), der zwischen − 1 -1 − 1 und 1 1 1 liegen muss. Vorgehen in 3 Schritten: Schritt 1: Substitution Wir ersetzen das gesamte Innere der Funktion durch die neue Variable z z z : z = b ⋅ ( x − c ) z = b \cdot (x - c) z = b ⋅ ( x − c ) Unsere Gleichung lautet nun ganz schlicht: sin ⁡ ( z ) = d bzw. cos ⁡ ( z ) = d \sin(z) = d \quad \text{bzw.} \quad \cos(z) = d sin ( z ) = d bzw. cos ( z ) = d Schritt 2: Nach z z z auflösen Dazu nutzen wir die Umkehrfunktionen auf dem Taschenrechner (meist als sin ⁡ − 1 \sin^{-1} sin − 1 und cos ⁡ − 1 \cos^{-1} cos − 1 beschriftet). Da trigonometrische Funktionen Wellen sind, gibt es pro Periode immer zwei verschiedene Lösungen: Für den Sinus ( sin ⁡ ( z ) = d \sin(z) = d sin ( z ) = d ): z 1 = sin ⁡ − 1 ( d ) z_1 = \sin^{-1}(d) z 1 = sin − 1 ( d ) z 2 = π − sin ⁡ − 1 ( d ) z_2 = \pi - \sin^{-1}(d) z 2 = π − sin − 1 ( d ) * Für den Kosinus ( cos ⁡ ( z ) = d \cos(z) = d cos ( z ) = d ): Aufgrund der Achsensymmetrie der Kosinuskurve gilt: z 1 = cos ⁡ − 1 ( d ) z_1 = \cos^{-1}(d) z 1 = cos − 1 ( d ) z 2 = − cos ⁡ − 1 ( d ) oder positiv ausgedr u ¨ ckt: z 2 = 2 π − cos ⁡ − 1 ( d ) z_2 = -\cos^{-1}(d) \quad \text{oder positiv ausgedrückt:} \quad z_2 = 2\pi - \cos^{-1}(d) z 2 = − cos − 1 ( d ) oder positiv ausgedr u ¨ ckt: z 2 = 2 π − cos − 1 ( d ) Hinweis: Vergiss nicht, deinen Taschenrechner auf das Bogenmaß (RAD) einzustellen! Weil sich die Wellen unendlich wiederholen, können wir zu den Lösungen noch Vielfache der Periode addieren (also + 2 k π + 2k\pi + 2 k π für z z z mit einer ganzen Zahl k k k ). Schritt 3: Rücksubstitution Im Anschluss setzen wir für z z z wieder unseren ursprünglichen Term b ⋅ ( x − c ) b \cdot (x - c) b ⋅ ( x − c ) ein und stellen die Gleichung Schritt für Schritt nach x x x um: b ⋅ ( x − c ) = z ∣ : b b \cdot (x - c) = z \quad \big|:b b ⋅ ( x − c ) = z : b x − c = z b ∣ + c x - c = \frac{z}{b} \quad \big| +c x − c = b z + c x = z b + c x = \frac{z}{b} + c x = b z + c

Beispiele

Leicht#1

Wir starten direkt mit einem einfachen Sinus-Beispiel: Löse die Gleichung sin ⁡ ( x − 1 ) = 0,5 \sin(x - 1) = 0{,}5 sin ( x − 1 ) = 0 , 5 und bestimme die ersten beiden positiven Lösungen.

f(x) = sin(x - 1)

In der Grafik sehen wir die verschobene Sinuskurve sin ⁡ ( x − 1 ) \sin(x - 1) sin ( x − 1 ) in Blau und die gestrichelte Höhe y = 0,5 y = 0{,}5 y = 0 , 5 . Die gesuchten Lösungen sind genau die x x x -Werte der beiden Schnittpunkte S 1 S_1 S 1 und S 2 S_2 S 2 . Schritt 1: Substitution Wir setzen für die Klammer einfach z z z ein: z = x − 1 z = x - 1 z = x − 1 Damit erhalten wir die einfache Gleichung: sin ⁡ ( z ) = 0,5 \sin(z) = 0{,}5 sin ( z ) = 0 , 5 Schritt 2: Lösungen für z z z bestimmen Mit dem Taschenrechner (im RAD-Modus) finden wir den ersten Wert: z 1 = sin ⁡ − 1 ( 0,5 ) = π 6 ≈ 0,52 z_1 = \sin^{-1}(0{,}5) = \frac{\pi}{6} \approx 0{,}52 z 1 = sin − 1 ( 0 , 5 ) = 6 π ≈ 0 , 52 Den zweiten Wert bekommen wir durch die Symmetrie der Sinuskurve: z 2 = π − 0,52 ≈ 3,14 − 0,52 = 2,62 z_2 = \pi - 0{,}52 \approx 3{,}14 - 0{,}52 = 2{,}62 z 2 = π − 0 , 52 ≈ 3 , 14 − 0 , 52 = 2 , 62 Schritt 3: Rücksubstitution Nun ersetzen wir z z z wieder durch x − 1 x - 1 x − 1 und lösen nach x x x auf: Für die erste Lösung x 1 x_1 x 1 : x 1 − 1 = 0,52 ∣ + 1 x_1 - 1 = 0{,}52 \quad \big| +1 x 1 − 1 = 0 , 52 + 1 x 1 ≈ 1,52 x_1 \approx 1{,}52 x 1 ≈ 1 , 52 Für die zweite Lösung x 2 x_2 x 2 : x 2 − 1 = 2,62 ∣ + 1 x_2 - 1 = 2{,}62 \quad \big| +1 x 2 − 1 = 2 , 62 + 1 x 2 ≈ 3,62 x_2 \approx 3{,}62 x 2 ≈ 3 , 62

Zusammenfassung

Vorbereitung: Stelle die Gleichung zuerst so um, dass der Ausdruck sin ⁡ ( … ) \sin(\dots) sin ( … ) bzw. cos ⁡ ( … ) \cos(\dots) cos ( … ) alleine auf einer Seite steht. Substitution: Ersetze den kompletten Klammerausdruck im Inneren der Funktion durch z z z , um die Gleichung auf sin ⁡ ( z ) = d \sin(z) = d sin ( z ) = d bzw. cos ⁡ ( z ) = d \cos(z) = d cos ( z ) = d zu vereinfachen. Zwei Lösungen pro Periode bestimmen: Beim Sinus : z 1 = sin ⁡ − 1 ( d ) z_1 = \sin^{-1}(d) z 1 = sin − 1 ( d ) und z 2 = π − z 1 z_2 = \pi - z_1 z 2 = π − z 1 . Beim Kosinus : z 1 = cos ⁡ − 1 ( d ) z_1 = \cos^{-1}(d) z 1 = cos − 1 ( d ) und z 2 = 2 π − z 1 z_2 = 2\pi - z_1 z 2 = 2 π − z 1 (oder z 2 = − z 1 z_2 = -z_1 z 2 = − z 1 ). Achtung: Stelle den Taschenrechner immer auf das Bogenmaß ( RAD ) ein. Rücksubstitution: Ersetze z z z am Ende wieder durch den ursprünglichen Klammerausdruck und berechne die endgültigen Werte für x x x .

Substitution bei sinus & cosinus

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