Normalenvektor

Stell dir eine Ebene im Raum vor – wie ein unendlich großes, flaches Blatt Papier. Um ihre Lage zu beschreiben, nutzt man oft die Parameterform mit einem Stützvektor und zwei Spannvektoren. Das sind allerdings drei Vektoren auf einmal. Es geht viel einfacher: Wir können die Ausrichtung der Ebene mit nur einem einzigen Vektor eindeutig festlegen. Dieser Vektor heißt Normalenvektor vec{n} . Er steht senkrecht (orthogonal) auf der gesamten Ebene – genau wie ein Fahnenmast, der senkrecht aus einer flachen Wiese ragt. Ein Normalenvektor ist extrem praktisch, um Abstände zu berechnen oder die Ebene in die übersichtliche Koordinatenform umzuwandeln. Um einen Normalenvektor vec{n} zu bestimmen, nutzt du die beiden Spannvektoren vec{u} und vec{v} der Ebene. Da vec{n} senkrecht auf der Ebene steht, muss er senkrecht auf beiden Spannvektoren stehen. Diese Eigenschaft liefert das Kreuzprodukt (auch Vektorprodukt genannt) der beiden Spannvektoren: vec{n} = vec{u} times vec{v} Für zwei Spannvektoren vec{u} = begin{pmatrix} u 1 u 2 u 3 end{pmatrix} und vec{v} = begin{pmatrix} v 1 v 2 v 3 end{pmatrix} lautet die Berechnungsformel: vec{n} = begin{pmatrix} u 1 u 2 u 3 end{pmatrix} times begin{pmatrix} v 1 v 2 v 3 end{pmatrix} = begin{pmatrix} u 2 cdot v 3 - u 3 cdot v 2 u 3 cdot v 1 - u 1 cdot v 3 u 1 cdot v 2 - u 2 cdot v 1 end{pmatrix} Wichtig: Ein Normalenvektor ist in seiner Länge nicht eindeutig. Jedes Vielfache von vec{n} (wie 2 vec{n} oder - vec{n} ) steht ebenfalls senkrecht auf der Eb