Multiplikation bei gleicher Basis

Worum geht's hier eigentlich? Stell dir vor, du hast eine Aufgabe wie 2^5 cdot 2^2 . Das könntest du natürlich mühsam ausrechnen: 2^5 = 32 und 2^2 = 4 , also 32 cdot 4 = 128 . Aber es geht viel einfacher! Wir wollen eine Regel finden, mit der wir Potenzen, die die gleiche Basis haben (hier die 2), ganz schnell multiplizieren können. Der Trick ist, sich die Potenzen ausgeschrieben vorzustellen: 2^5 cdot 2^2 = (2 cdot 2 cdot 2 cdot 2 cdot 2) cdot (2 cdot 2) Wenn wir jetzt zählen, sehen wir, dass wir die 2 insgesamt 7-mal mit sich selbst multiplizieren. Das ist also das Gleiche wie 2^7 . Und siehe da: 5 + 2 = 7 . Genau das ist die Regel! Die allgemeine Formel, die wir uns gerade hergeleitet haben, lautet: a^m cdot a^n = a^{m+n} Dabei gilt: a ist die Basis . Sie muss bei beiden Potenzen gleich sein. m und n sind die Exponenten (auch Hochzahlen genannt). Kurz gesagt: Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält. Wir starten direkt mit einem einfachen Beispiel. Aufgabe: Berechne 3^2 cdot 3^3 . Lösung: Hier ist die Basis die 3. Wir behalten die Basis bei und addieren die Exponenten 2 und 3. 3^2 cdot 3^3 = 3^{2+3} = 3^5 Zur Kontrolle können wir das auch ausschreiben: (3 cdot 3) cdot (3 cdot 3 cdot 3) = 3 cdot 3 cdot 3 cdot 3 cdot 3 = 3^5 Das Ergebnis ist 3^5 = 243 . Das Ganze klappt natürlich auch mit mehr als zwei Potenzen. Schauen wir uns das mal an. Aufgabe: Vereinfache den Term 7^2 cdot 7^4 cdot 7^3 . Lösung: Auch hier