Mittelwert einer Funktion

Der Mittelwert einer Funktion gibt den durchschnittlichen Funktionswert (y-Wert) über einem bestimmten Intervall an. Stell dir vor, eine Funktion zeigt den Temperaturverlauf über einen Tag. Der Mittelwert dieser Funktion liefert dir die exakte Durchschnittstemperatur für diesen Zeitraum. Da eine Kurve unendlich viele Punkte hat, können wir nicht einfach alle Werte zusammenzählen und teilen. Stattdessen nutzen wir die Integralrechnung. Der Mittelwert m einer stetigen Funktion f(x) über dem Intervall I = [a; b] wird mit folgender Formel berechnet: m = frac{1}{b-a} int a^b f(x) ,dx Dabei bedeuten die einzelnen Bestandteile: m : Der gesuchte Mittelwert der Funktionswerte. a : Die untere Grenze des Intervalls. b : Die obere Grenze des Intervalls. b-a : Die Breite des Intervalls. int a^b f(x) ,dx : Das bestimmte Integral (die Fläche unter der Kurve) im Intervall von a bis b . Die geometrische Idee: Wir berechnen die Fläche unter der Kurve und teilen sie durch die Breite des Intervalls b-a . Das Ergebnis m ist die Höhe eines Rechtecks mit derselben Breite, das exakt denselben Flächeninhalt wie die Fläche unter der Kurve besitzt. Im Diagramm siehst du die Funktion f(x) = x^2 - x . Der Mittelwert im Intervall [1; 5] beträgt m = frac{22}{3} approx 7{,}33 . Die farbige Fläche unter der Kurve ist genau so groß wie das Rechteck mit der Breite 4 (von 1 bis 5 ) und der Höhe m approx 7{,}33 . --- Einfaches Beispiel Bestimme den Mittelwert der Funktion f(x) = 2x auf dem Intervall I = [0; 4] .