Logarithmusfunktion

Du kennst bereits Exponentialfunktionen wie f(x) = 2^x . Sie beantworten die Frage: „Was ist das Ergebnis, wenn ich 2 hoch x rechne?“ (z. B. 2^3 = 8 ). Was aber, wenn wir die Frage umdrehen wollen: „2 hoch was ergibt 8?“ Genau für diese Umkehrung brauchst du den Logarithmus. Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion . Sie hilft dir dabei, Gleichungen zu lösen, bei denen die gesuchte Variable im Exponenten steht. Kurz gesagt: Mit dem Logarithmus berechnest du den Exponenten. Die allgemeine Funktionsgleichung einer Logarithmusfunktion zur Basis a lautet: f(x) = log a(x) Dabei gilt: Basis a : Das ist die Zahl, die potenziert wird. Es muss immer a 0 und a neq 1 gelten. Argument x (Numerus): Die Zahl, von der du den Logarithmus nimmst. Da Potenzwerte bei positiver Basis immer positiv sind, darfst du logarithmieren nur für positive reelle Zahlen anwenden ( x 0 ). Da die Logarithmusfunktion f(x) = log a(x) und die Exponentialfunktion g(x) = a^x Umkehrfunktionen zueinander sind, heben sie sich bei nacheinanderfolgender Anwendung auf. Grafisch entspricht dies einer Spiegelung der Graphen an der Winkelhalbierenden y = x . Wichtige Eigenschaften: Definitionsbereich: D = mathbb{R}^+ = (0; infty) (nur positive Zahlen sind erlaubt). Wertebereich: W = mathbb{R} (jedes reelle Ergebnis ist möglich). Gemeinsame Nullstelle: Jede Logarithmusfunktion verläuft durch den Punkt N(1|0) , da unabhängig von der Basis stets a^0 = 1 und damit log a(1) = 0 gilt. Asymptote: Die