Lineare Substitution

Manchmal triffst du auf Integrale von Funktionen, die ineinander verschachtelt („verkettet“) sind. Wenn du eine solche Funktion ableiten willst, nutzt du die Kettenregel. Die lineare Substitution ist die Umkehrung dieser Kettenregel für die Integration. Die wichtigste Einschränkung dabei: Sie funktioniert nur, wenn die innere Funktion linear ist, also die Form v(x) = m cdot x + b hat. Das Ziel ist es, auf direktem Weg die Stammfunktion solcher verketteten Funktionen zu bestimmen, ohne den aufwändigeren Weg der allgemeinen Substitutionsregel gehen zu müssen. Betrachten wir zum Beispiel die Berechnung der Fläche A unter dem Graphen der verketteten Funktion f(x) = (0{,}5x+1)^2 im Intervall [1; 4] : Die lineare Substitution ist die „Rückwärts-Kettenregel“ für die Integration. Sie besagt: Wenn du eine lineare innere Funktion hast, musst du beim Integrieren lediglich durch die innere Ableitung (die Steigung m ) teilen. Allgemeine Formel: Wir betrachten ein Integral mit einer linearen inneren Funktion der Form: v(x) = m cdot x+b Für das bestimmte Integral gilt: int {a}^{b} u(m cdot x+b) ,dx = frac{1}{m} cdot left[ U(m cdot x+b) right] {a}^{b} Für das unbestimmte Integral gilt entsprechend: int u(m cdot x+b) ,dx = frac{1}{m} cdot U(m cdot x+b) + C Dabei stehen die Symbole für: u(m cdot x+b) : die verkettete Funktion, die integriert werden soll u(...) : die äußere Funktion v(x) = m cdot x+b : die innere, lineare Funktion (die Steigung m darf nicht 0 sein) U(...) : eine Stammfunktion d