Koordinatenform einer Ebene

Die Koordinatenform ist eine besonders übersichtliche Weise, eine Ebene im dreidimensionalen Raum darzustellen. Stell dir eine unendlich große, flache Platte vor, die frei im Raum schwebt. Mit der Koordinatenform erhältst du eine einfache, lineare Gleichung. Sie ermöglicht es dir, für jeden beliebigen Punkt im Raum sofort zu prüfen: Liegt er auf dieser Ebene oder nicht? Der unschlagbare Vorteil der Koordinatenform ist ihre Einfachheit bei Berechnungen. Ob du überprüfen willst, ob ein Punkt auf der Ebene liegt ( Punktprobe ), oder den Abstand eines Punktes zur Ebene berechnen möchtest – die Koordinatenform ist dafür fast immer die beste Wahl. Die allgemeine Koordinatenform einer Ebene E lautet: E: n 1 cdot x 1 + n 2 cdot x 2 + n 3 cdot x 3 = b Alternativ schreibt man auch oft E: a cdot x + b cdot y + c cdot z = d . Die Bestandteile der Gleichung: x 1, x 2, x 3 (bzw. x, y, z ) sind die veränderlichen Koordinaten eines beliebigen Punktes X(x 1|x 2|x 3) auf der Ebene. n 1, n 2, n 3 sind die Koeffizienten vor den Variablen. Sie bilden zusammen den Normalenvektor vec{n} : vec{n} = begin{pmatrix} n 1 n 2 n 3 end{pmatrix} Dieser Vektor steht im exakten 90^ circ -Winkel (orthogonal) auf der gesamten Ebene und bestimmt ihre Ausrichtung im Raum. b ist eine feste Zahl (Skalar), die die Lage der Ebene im Raum fixiert (ihren Abstand zum Ursprung). Um diesen Wert b zu berechnen, multiplizierst du den Normalenvektor im Skalarprodukt mit dem Ortsvektor vec{p} eines bekannten Punktes P auf der