Integralfunktion

Stell dir vor, du möchtest den Flächeninhalt unter einer Kurve berechnen, aber eine der Grenzen ist nicht fest, sondern variabel. Genau das leistet die Integralfunktion : Sie ist eine „Flächeninhaltsfunktion“, die sich dynamisch anpasst. Für eine feste untere Grenze a und eine variable obere Grenze x gibt uns die Integralfunktion I a(x) den orientierten Flächeninhalt (die Flächenbilanz) unter dem Graphen einer Funktion f im Intervall [a; x] an. Da sie sich beim Ableiten wieder zur Ausgangsfunktion f vereinfacht, ist sie immer auch eine ganz besondere Stammfunktion von f . Die Integralfunktion I a(x) einer Funktion f zur festen unteren Grenze a ist definiert als: I a(x) = int {a}^{x} f(t) ,dt Dabei bedeuten die einzelnen Bestandteile: f(t) ist die zu integrierende Funktion. Wir nutzen hier die Variable t , um sie eindeutig von der oberen Grenze x zu unterscheiden. a ist die feste untere Grenze des Intervalls. x ist die variable obere Grenze. Setzt du für x einen Wert ein, erhältst du den Flächeninhalt von a bis zu diesem Wert. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt, dass die Ableitung der Integralfunktion wieder die Ausgangsfunktion ergibt: I a'(x) = f(x) Jede Integralfunktion ist somit eine Stammfunktion von f mit der Eigenschaft I a(a) = 0 . Wir bestimmen die Integralfunktion I 1(x) der Funktion f(x) = 3x^2 mit der unteren Grenze a=1 . Vorgehen: Wir setzen die Funktion (mit der Variablen t ) und die untere Grenze in die Definition ein und bestimmen da