Hypergeometrische Verteilung

In einer Urne liegen N N N Kugeln, davon sind M M M „Treffer“ (z. B. schwarz). Du ziehst n n n Kugeln ohne Zurücklegen . Die Zufallsvariable X X X zählt die Treffer unter den gezogenen Kugeln. Dann gilt: P ( X = k ) = ( M k ) ⋅ ( N − M n − k ) ( N n ) P(X = k) = \frac{\dbinom{M}{k} \cdot \dbinom{N - M}{n - k}}{\dbinom{N}{n}} P ( X = k ) = ( n N ​ ) ( k M ​ ) ⋅ ( n − k N − M ​ ) ​ Was bedeuten die Teile? ( M k ) \dbinom{M}{k} ( k M ​ ) – Anzahl der Möglichkeiten, k k k Treffer aus den M M M Trefferkugeln auszuwählen ( N − M n − k ) \dbinom{N-M}{n-k} ( n − k N − M ​ ) – Anzahl der Möglichkeiten, die restlichen n − k n - k n − k Kugeln aus den Nieten auszuwählen ( N n ) \dbinom{N}{n} ( n N ​ ) – Anzahl aller Möglichkeiten, n n n Kugeln aus N N N zu ziehen Es ist also „günstige durch mögliche Fälle“ wie beim Laplace-Experiment. Man schreibt dafür auch kurz H N ; M ; n ( k ) H_{N;M;n}(k) H N ; M ; n ​ ( k ) . Erwartungswert und Varianz: E ( X ) = n ⋅ M N E(X) = n \cdot \frac{M}{N} E ( X ) = n ⋅ N M ​ V ( X ) = n ⋅ M N ⋅ ( 1 − M N ) ⋅ N − n N − 1 V(X) = n \cdot \frac{M}{N} \cdot \left(1 - \frac{M}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1} V ( X ) = n ⋅ N M ​ ⋅ ( 1 − N M ​ ) ⋅ N − 1 N − n ​ Der letzte Faktor N − n N − 1 \frac{N-n}{N-1} N − 1 N − n ​ ist der Unterschied zur Binomialverteilung: Er macht die Varianz etwas kleiner, weil sich die Urne beim Ziehen leert. Merke: Oben stehen die beiden Teilgruppen (Treffer und Nieten), unten die ganze Urne. Die oberen Zahlen ergeben zusammen die unteren: M + ( N − M ) = N M + (N - M) = N M + ( N − M ) = N und k + ( n − k ) = n k + (n - k) = n k + ( n − k ) = n .