Gauß-Verfahren

Stell dir vor, du hast nicht nur eine Gleichung, sondern ein ganzes Paket davon (ein lineares Gleichungssystem , kurz LGS). Wenn du drei oder mehr Unbekannte ( x 1, x 2, x 3, dots ) hast, verlierst du mit dem Einsetzungs- oder Gleichsetzungsverfahren schnell den Überblick. Das Gauß-Verfahren ist hier dein Navigationssystem: Es ist eine Schritt-für-Schritt-Anleitung, die dich immer sicher zur Lösung führt, ohne dass du im Chaos versinkst. Das Ziel ist die sogenannte Stufenform (oder Zeilenstufenform). Wir wollen die Gleichungen so umformen, dass sie wie eine Treppe aussehen: 1. In der ersten Zeile können alle Unbekannten vorkommen. 2. In der zweiten Zeile wurde die erste Unbekannte ( x 1 ) eliminiert. 3. In der dritten Zeile wurden die ersten beiden Unbekannten ( x 1 und x 2 ) eliminiert. Und so weiter. Wenn diese Form erreicht ist, kannst du von unten nach oben ganz entspannt die Ergebnisse für die Unbekannten ausrechnen. Das Gauß-Verfahren selbst ist keine feste Formel, sondern ein Algorithmus, also ein systematisches Vorgehen. Der Grundgedanke ist, das Gleichungssystem durch erlaubte Umformungen in die Stufenform zu bringen. Die "Formeln" sind hier also die erlaubten Operationen: Du darfst jederzeit: Zwei Zeilen (also zwei Gleichungen) miteinander vertauschen. Eine komplette Zeile (also eine ganze Gleichung) mit einer beliebigen Zahl (außer Null) multiplizieren oder durch sie teilen. Eine Zeile zu einer anderen Zeile addieren oder von ihr subtrahieren. Man darf auch ein Vie